Triangle de Héron

Un triangle est appelé triangle de Héron (ou triangle héronien) si chacune des longueurs de ses côtés ainsi que son aire sont exprimés en nombres entiers naturels non nuls. En condensé, c'est un triangle entier d'aire entière.

D'après la formule de Héron il s'agit de déterminer les solutions ${\displaystyle (a,b,c,s)}$ en nombres entiers naturels de l'équation diophantienne ${\displaystyle 16s^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}$ en prenant ${\displaystyle 0<a\leqslant b\leqslant c}$.

On attribue à Héron d'Alexandrie la solution ${\displaystyle (13,14,15,84)}$[1].

Les trois premières solutions ordonnées par la croissance de leur plus grand côté sont (3, 4, 5, 6), (5, 5, 6, 12), (5, 5, 8, 12).

Les suites donnant les valeurs successives de ${\displaystyle (a,b,c,s)}$ sont les suites ( A055594 ,  A055593,  A055592  A055595).

Voici une méthode pour déterminer des triangles de Héron ; on peut paramétrer les quatre inconnues ${\displaystyle (a,b,c,s)}$ par trois entiers ${\displaystyle (m,n,k)}$ de la façon suivante :

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}a&=&n(m^{2}+k^{2})\\b&=&m(n^{2}+k^{2})\\c&=&(m+n)(m.n-k^{2})\\s&=&k.m.n(m+n)(m.n-k^{2})\end{array}}}$

Ces constructions garantissent, pour toutes les valeurs de ${\displaystyle (m,n,k)}$ choisies, une solution ${\displaystyle (a,b,c,s)}$ valide[2].

Voir aussi

• Triangle de Brahmagupta, triangle de Héron dont les côtés sont des entiers consécutifs
• Tétraèdre de Héron
• Suite d'Alcuin, donnant le nombre de triangles entiers de périmètre donné.
• Quadrilatère de Brahmagupta
• Pentagone de Robbins

Références

1. (en) K. R. S. Sastry, « Heron triangles: A Gergonne-Cevian-and-median perspective », Forum Geometricorum, vol. 1,‎ 2001, p. 17-24 (lire en ligne)
2. Gérard Villemin, « Triangles héroniens », sur villemin.gerard.free.fr (consulté le 15 février 2017).