En algèbre, la théorie d'Auslander-Reiten étudie la théorie des représentations des anneaux artiniens à l'aide de techniques telles que les suites d'Auslander-Reiten (également appelées suites presque scindées) et les carquois d'Auslander-Reiten. La théorie d'Auslander-Reiten a été introduite par Maurice Auslander et Iduun Reiten et développée par eux dans plusieurs articles ultérieurs.
Suite presque scindée
Définition
Soit une algèbre d'Artin. Une suite
de modules gauches de type fini sur est appelée une suite presque scindée (ou suite d'Auslander–Reiten) si elle a les propriétés suivantes :
La suite n'est pas scindée ;
est indécomposable et tout homomorphisme d'un module indécomposable dans qui n'est pas un isomorphisme se factorise par ;
est indécomposable et tout homomorphisme de vers un module indécomposable qui n'est pas un isomorphisme se factorise par .
Pour tout module gauche de type fini qui est indécomposable mais non projectif, il existe une suite presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près. De même, pour tout module gauche de type fini qui est indécomposable mais non injectif, il existe une suite presque scindée comme ci-dessus, qui est unique à isomorphisme près.
Le module dans la suite presque scindée est isomorphe à , le dual de la transposée de .
Exemple
On prend pour est l'anneau pour un corps et un entier . Les modules indécomposables sont isomorphes à l'un des pour et le seul qui est projectif est celui pour . Les suites presque scindées sont isomorphes à
pour . Le premier morphisme envoie sur , et le second envoie sur .
Carquois d'Auslander-Reiten
Le carquois d'Auslander-Reiten d'une algèbre d'Artin possède un sommet pour chaque module indécomposable et une flèche entre les sommets s'il existe un morphisme irréductible entre les modules correspondants. Il possède une application appelée translation des sommets non projectifs vers les sommets non injectifs, où est le dual et la transposée.
Maurice Auslander, « The what, where, and why of almost split sequences », dans Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1 (Berkeley, Calif., 1986), Providence, R.I., Amer. Math. Soc., (MR934232, lire en ligne), p. 338–345
Maurice Auslander et Idun Reiten, « Representation theory of Artin algebras. III. Almost split sequences », Communications in Algebra, vol. 3, no 3, , p. 239–294 (ISSN0092-7872, DOI10.1080/00927877508822046, MR0379599)
Peter Gabriel, « Auslander-Reiten sequences and representation-finite algebras », Lecture Notes in Math., Berlin, New York, Springer-Verlag, vol. 831 « Representation theory, I (Proc. Workshop, Carleton Univ., Ottawa, Ont., 1979) », , p. 1-71 (ISBN978-3-540-10263-2, DOI10.1007/BFb0089778, MR0607140)
Idun Reiten, « The use of almost split sequences in the representation theory of Artin algebras », Lecture Notes in Math., Berlin, New York, Springer-Verlag, vol. 944 « Representations of algebras (Puebla, 1980) », , p. 29–104 (ISBN978-3-540-11577-9, DOI10.1007/BFb0094057, MR672115)
Bibliographie
Claire Amiot, « Raconte-moi ... un carquois », Gazette des mathématiciens, Société mathématique de France, no 155, , p. 61-67 (zbMATH1395.16007, HALhal-02002244, lire en ligne).