Théorèmes d'isomorphisme

En mathématiques, les trois théorèmes d'isomorphisme fournissent l'existence d'isomorphismes dans le cadre de la théorie des groupes.

Ces trois théorèmes d'isomorphisme sont généralisables à d'autres structures que les groupes. Voir notamment « Anneau quotient », « Algèbre universelle » et « Groupe à opérateurs ».

Premier théorème d'isomorphisme

Le premier théorème d'isomorphisme affirme qu'étant donné un morphisme de groupes ${\displaystyle f:G\to G'}$, on peut rendre ${\displaystyle f}$ injectif en quotientant ${\displaystyle G}$ par son noyau Ker f, qui est un sous-groupe normal de G.

Premier théorème d'isomorphisme[1] —  Soit ${\displaystyle f:G\rightarrow G'}$ un morphisme de groupes. Alors ${\displaystyle f}$ induit un isomorphisme ${\displaystyle {\widehat {f}}:G/\operatorname {Ker} f\rightarrow \operatorname {Im} f}$.

Une autre formulation possible du théorème précédent est que le morphisme ${\displaystyle f}$ se factorise par la surjection et l'injection canoniques, c'est-à-dire que le diagramme qui suit est commutatif.

Factorisation d'un morphisme.

Deuxième théorème d'isomorphisme

Deuxième théorème d'isomorphisme[2] —  Soient ${\displaystyle G}$ un groupe, ${\displaystyle N}$ un sous-groupe normal de ${\displaystyle G}$ et ${\displaystyle H}$ un sous-groupe de ${\displaystyle G}$. Alors ${\displaystyle H\cap N}$ est un sous-groupe normal de ${\displaystyle H}$, et on a l'isomorphisme suivant :

${\displaystyle H/(H\cap N)\simeq HN/N.}$

La conclusion de ce théorème reste vraie si l'on suppose seulement que le normalisateur de ${\displaystyle N}$ contient ${\displaystyle H}$ (au lieu de le supposer égal à ${\displaystyle G}$ tout entier).

Troisième théorème d'isomorphisme

Troisième théorème d'isomorphisme[3] — Soient ${\displaystyle G}$ un groupe et ${\displaystyle N}$ et ${\displaystyle M}$ deux sous-groupes normaux de ${\displaystyle G}$ tels que ${\displaystyle M}$ soit inclus dans ${\displaystyle N}$. Alors ${\displaystyle N/M}$ est un sous-groupe normal de ${\displaystyle G/M}$ et on a l'isomorphisme suivant :

${\displaystyle (G/M)/(N/M)\simeq G/N.}$

Notes et références

1. Pour une démonstration, voir par exemple « Premier théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.
2. Pour une démonstration, voir par exemple « Second théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.
3. Pour une démonstration, voir par exemple « Troisième théorème d'isomorphisme » sur Wikiversité.

Serge Lang, Algèbre [détail des éditions] chapitre I, § 4

Articles connexes

• Théorème de factorisation
• Théorème de correspondance
• Lemme de Zassenhaus