Lemme de Zassenhaus

Diagramme de Hasse du « papillon de Zassenhaus »

En algèbre, le lemme de Zassenhaus, ou lemme du papillon, est un résultat technique sur le treillis des sous-groupes d'un groupe, qui permet de démontrer le lemme de raffinement de Schreier (utile dans le théorème de Jordan-Hölder), selon lequel deux suites de composition d'un groupe donné possèdent toujours un raffinement commun[1].

Lemme — Soient ${\displaystyle G}$ un groupe, ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle C}$ deux sous-groupes de ${\displaystyle G}$, ${\displaystyle B}$ un sous-groupe normal de ${\displaystyle A}$, et ${\displaystyle D}$ un sous-groupe normal de ${\displaystyle C}$. Alors ${\displaystyle B(A\cap D)}$ est normal dans ${\displaystyle B(A\cap C}$), ${\displaystyle (B\cap C)D}$ est normal dans ${\displaystyle (A\cap C)D}$, et les deux groupes quotients correspondants sont isomorphes. Plus formellement :

${\displaystyle (B~\triangleleft ~A\leq G\quad }$ et ${\displaystyle \quad D~\triangleleft ~C\leq G)\quad \Rightarrow \quad B(A\cap C)/B(A\cap D)\simeq (A\cap C)D/(B\cap C)D.}$

Ce lemme fut publié par Hans Zassenhaus en 1934[2].

Notes et références

1. Pour une démonstration, voir par exemple N. Bourbaki, Algèbre I, Chapitres 1 à 3, Paris, 1970, p. I.40-41, ou encore J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 227-228, ou encore Serge Lang, Algèbre [détail des éditions], 3^e édition révisée, Paris, 2004, p. 22-23.
2. (de) H. Zassenhaus, « Zum Satz von Jordan-Hölder-Schreier », Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg, vol. 10, 1934, p. 187-220, DOI 10.1007/BF02940667. Référence donnée par J. Calais, Éléments de théorie des groupes, Paris, 1984, p. 371.