Théorème du point fixe de Ryll-Nardzewski

Le théorème du point fixe de Ryll-Nardzewski est un théorème de point fixe d'analyse fonctionnelle, annoncé[1] puis démontré[2] par le mathématicien polonais Czesław Ryll-Nardzewski (de), qui garantit l'existence d'un point fixe commun pour certains demi-groupes d'applications affines d'un compact convexe dans lui-même.

Énoncé

Soient X un espace localement convexe, Q un convexe non vide faiblement compact de X et G un demi-groupe d'applications affines de X dans X, faiblement continues et laissant Q stable.

Si G est non contractant sur Q, alors il existe dans Q un point fixe par tous les éléments de G.

Dire que l'ensemble d'applications G est un demi-groupe signifie simplement qu'il est stable par composition.

L'hypothèse qu'il est non contractant sur Q est définie par :

pour tous points distincts x et y dans Q, le vecteur nul n'appartient pas à l'adhérence de l'ensemble des T(x) – T(y), où T parcourt G.

Remarques

• Le plan de l'une des preuves[3],[4] est le suivant : par compacité, il suffit de démontrer l'existence d'un point fixe commun à un nombre fini d'éléments T₁, … T_n de G. Le théorème du point fixe de Markov-Kakutani montre que la moyenne de ces T_i admet un point fixe x. Il reste alors à montrer que ce point est fixe par chaque T_i, par l'absurde et en supposant même, sans perte de généralité, qu'aucun T_i ne le fixe. L'hypothèse que G est non contractant sur Q fournit dans ce cas une semi-norme continue p telle que pour tout T dans G et tout indice i, p(TT_ix – Tx) > 1. Or un lemme technique (déduit du théorème de Krein-Milman) montre que pour tout convexe non vide K faiblement compact et séparable, il existe un convexe fermé C strictement inclus dans K tel que le p-diamètre de K\C soit majoré par 1. On en tire facilement la contradiction souhaitée en prenant pour K l'enveloppe convexe fermée de Hx, où H est le sous-demi-groupe engendré par les T_i.
• L'hypothèse que G est non contractant est automatiquement vérifiée si X est un espace vectoriel normé et si les éléments de G sont des isométries.
• Un corollaire est l'existence d'une mesure de Haar sur tout groupe compact.

Notes et références

1. (en) C. Ryll-Nardzewski, « Generalized random ergodic theorems and weakly almost periodic functions », Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., vol. 10,‎ 1962, p. 271-275.
2. (en) C. Ryll-Nardzewski, « On fixed points of semi-groups of endomorphisms of linear spaces », dans Proc. 5-th Berkeley Symp. on Math. Statist. and Prob., vol. 2.1, Univ. California Press, 1967 (lire en ligne), p. 55-61.
3. (en) Isaac Namioka et Edgar Asplund, « A geometric proof of Ryll-Nardzewski's fixed point theorem », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 73, n^o 3,‎ 1967, p. 443-445 (lire en ligne).
4. (en) John B. Conway (en), A Course in Functional Analysis, Springer, coll. « GTM » (n^o 96), 1990, 2^e éd., 400 p. (ISBN 978-0-387-97245-9, lire en ligne), chap. V, § 10 (« The Ryll-Nardzewski fixed-point theorem »).

Liens externes

• (en) Andrzej Granas et James Dugundji, Fixed Point Theory, Springer, 2003, 690 p. (ISBN 978-0-387-00173-9, lire en ligne), chap. II, § 7.9 (« Theorem of Ryll-Nardzewski »)
• (en) Anna Kiesenhofer, « Haar measure on compact groups », sur TU Wien, 2011