Théorème des gendarmes

Deux fonctions f et h qui admettent la même limite L au point a, et une fonction g prise en « étau » entre f et h dans le voisinage de a. Selon le théorème du sandwich, g admet L comme limite en a.

En analyse, le théorème des gendarmes[1] (également appelé théorème de l'étau[2], théorème d'encadrement[3] ou théorème du sandwich[4]) est un théorème concernant la limite d'une fonction. Selon ce théorème, si deux fonctions (f et h) admettent la même limite en un point (a), et qu'une troisième fonction (g) est prise en « étau » (ou « encadrée » ou « prise en sandwich ») entre f et h dans le voisinage de a, alors g admet en a une limite, égale à la limite commune de f et h.

Le théorème des gendarmes est souvent utilisé pour déterminer la limite d'une fonction via la comparaison avec deux autres fonctions dont la limite est connue ou facilement calculable.

Énoncé

Soient :

• E un espace topologique ;
• A une partie de E ;
• ${\displaystyle a}$ un point de E adhérent à A ;
• ${\displaystyle f}$, ${\displaystyle g}$ et ${\displaystyle h}$ trois fonctions de A dans ℝ = ℝ ∪ {–∞, +∞} ;
• ${\displaystyle L}$ un élément de ℝ.

Si ${\displaystyle f\leq g\leq h}$ et si ${\displaystyle \lim _{a}f=\lim _{a}h=L}$, alors ${\displaystyle g}$ converge en ${\displaystyle a}$ et ${\displaystyle \lim _{a}g=L}$[5].

Origine du nom

Pour comprendre le nom familier du théorème, il faut assimiler les fonctions f et h à des gendarmes et g à un suspect. Ce dernier, encadré par les deux gendarmes, est obligé de les suivre jusqu'à la gendarmerie L. En Italie, on l'appelle « théorème des carabiniers », « théorème de l'affrontement », ou encore « théorème du sandwich ». Il est également appelé « théorème d'existence de limites par encadrement » dans le supérieur[6] car son résultat phare est l'existence de la limite plus que sa valeur. Il existe en effet d'autres théorèmes, comme celui de passage à la limite dans une inégalité, qui permettent d'obtenir la valeur d'une limite si l'on connaît son existence.

Cas particuliers

• Si ${\displaystyle f\leq g}$ et ${\displaystyle \lim _{a}f=+\infty }$, les hypothèses du théorème sont satisfaites pour ${\displaystyle L=+\infty }$, en posant ${\displaystyle h:x\mapsto +\infty }$.
• Si ${\displaystyle g\leq h}$ et ${\displaystyle \lim _{a}h=-\infty }$, les hypothèses du théorème sont satisfaites pour ${\displaystyle L=-\infty }$, en posant ${\displaystyle f:x\mapsto -\infty }$.
• L'ensemble A peut être un intervalle réel et le point a un élément de cet intervalle, ou l'une de ses deux bornes (finies ou non).
• On peut aussi appliquer le théorème avec ${\displaystyle A=\mathbb {N} }$ ou ${\displaystyle \{n\in \mathbb {N} \mid n>N\}}$ et ${\displaystyle a=+\infty }$ : si u, v et w sont trois suites réelles, telles que pour tout n > N${\displaystyle u_{n}\leq v_{n}\leq w_{n}{\text{ et }}\lim _{n\to +\infty }u_{n}=\lim _{n\to +\infty }w_{n}=L,{\text{ alors }}\lim _{n\to +\infty }v_{n}=L,}$avec ${\displaystyle L}$ réel ou infini.

Exemples

Premier exemple

Un exemple classique d'application du théorème des gendarmes est[7] :

${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }{\frac {\sin x}{x}}=0}$

ou, ce qui est équivalent :

${\displaystyle \lim _{y\to 0}y\sin({\tfrac {1}{y}})=0}$.

A fortiori, ${\displaystyle \lim _{y\to 0}y^{2}\sin({\tfrac {1}{y}})=0}$, ce qui peut également se démontrer directement, toujours par le théorème des gendarmes[8].

Deuxième exemple

Probablement l'exemple le plus connu^[réf. souhaitée] de détermination de limite à l'aide du théorème des gendarmes est la démonstration de l'égalité suivante :

${\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}$.

Elle découle du théorème des gendarmes par l'encadrement classique[9]

${\displaystyle \cos x\leq {\frac {\sin x}{x}}\leq 1}$

pour x (non nul) suffisamment proche de 0.

Cette limite est utilisée pour démontrer que la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.

Notes et références

1. Ministère de l'Éducation nationale (France), « Programme de l'enseignement des mathématiques en classe terminale de la série scientifique », B.O., n^o 4,‎ août 2001, p. 65 (lire en ligne).
2. Abdou Kouider Ben-Naoum, Analyse : Premières notions fondamentales : Théorie, exemples, questions, exercices, Presses universitaires de Louvain, 2007, 414 p. (ISBN 9782874630811, lire en ligne), p. 66.
3. Stéphane Balac et Frédéric Sturm, Algèbre et analyse : cours de mathématiques de première année avec exercices corrigés, PPUR, 2003 (lire en ligne), p. 577.
4. James Stewart (en) (trad. de l'anglais par Micheline Citta-Vanthemsche), Analyse concepts et contextes : Fonction d'une variable [« Calculus: Concepts and Contexts »], vol. 1, De Boeck, 2011, 631 p. (ISBN 9782804163068), p. 110.
5. Pour des fonctions à valeurs dans ℝ — mais la démonstration est identique pour des fonctions à valeurs dans ℝ — le théorème est énoncé sous cette forme générale et démontré par E. Ramis, C. Deschamps et J. Odoux, Cours de mathématiques spéciales, vol. 3, Masson, 1976, p. 40, ainsi que — pour le cas particulier E = ℝ et A ⊂ ℝ, mais la démonstration s'adapte sans problème à un espace topologique quelconque — dans Frédéric Denizet, Analyse - MPSI, Nathan, coll. « Classe prépa », 2008 (lire en ligne), p. 201 et dans « Limites et relation d'ordre » sur Wikiversité.
6. N. Nguyen et al., Mathématiques PCSI - Programme 2021, Éditions Ellipses, 2021 (lire en ligne), p. 259.
7. Cet exemple est détaillé dans Fonctions d'une variable réelle/Limites#Limites et relation d'ordre sur Wikiversité.
8. Cet exemple est détaillé dans Limites d'une fonction/Théorèmes sur les limites#Théorème des gendarmes sur Wikiversité.
9. Voir par exemple (de) Selim G. Krein et V. N. Uschakowa, Vorstufe zur höheren Mathematik, Vieweg, 1968 (ISBN 978-3-322-98628-3, lire en ligne), p. 80-81, ou simplement la propriété 1 de Fonctions trigonométriques/Propriétés préliminaires#Propriétés sur les limites sur Wikiversité.

Voir aussi

Article connexe

Théorème du sandwich (variante)

Liens externes

• https://www.ljll.math.upmc.fr/~nardoni/TDagrl3/TD1cor.pdf
• http://www.facsa.uliege.be/upload/docs/application/pdf/2012-07/analyse_-_synthese.pdf