Théorème de Jordan-Schur

En mathématiques, le théorème de Jordan-Schur, ou « théorème de Jordan pour les groupes linéaires finis[1] », est un théorème de structure sur les sous-groupes des groupes linéaires complexes.

Énoncés

La forme originelle, due à Camille Jordan, établit[2] qu'il existe une fonction F telle que pour tout sous-groupe fini G du groupe linéaire GL(n, ℂ), il existe un sous-groupe normal de G, abélien et d'indice inférieur ou égal à F(n).

Issai Schur a étendu ce résultat aux sous-groupes G non nécessairement finis mais seulement de torsion – comparer avec un résultat antérieur de Burnside quand l'exposant de G est fini – et a montré que F(n) pouvait être pris égal à[2]

${\displaystyle \left({\sqrt {8n}}+1\right)^{2n^{2}}-\left({\sqrt {8n}}-1\right)^{2n^{2}}}$.

Progrès

Pour G fini (et n ≥ 3), un majorant plus fin est dû à Andreas Speiser[2],[3] :

F(n) = n! 12^n(π(n+1) + 1),

où π(x) est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Il a été amélioré par Hans Blichfeldt (de), qui a réussi à remplacer le « 12 » par un « 6 ». Des travaux non publiés sur le cas fini ont aussi été effectués par Boris Weisfeiler[4].

Par la suite, Michael Collins, en utilisant la classification des groupes finis simples, a montré que dans le cas fini, on peut prendre F(n) = (n + 1)! si n ≥ 71, et a donné des descriptions presque complètes de la situation pour les valeurs de n plus petites.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jordan–Schur theorem » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Ben Green, Analytic Topics in Group Theory, chap. 2
2. (en) Charles Curtis et Irving Reiner, Representation Theory of Finite Groups and Associated Algebras, John Wiley & Sons, 1962 (lire en ligne), p. 258-262
3. (de) Andreas Speiser, Die Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung, Dover, 1945, p. 216-220
4. (en) Michael J. Collins, « On Jordan’s theorem for complex linear groups », Journal of Group Theory, vol. 10, n^o 4,‎ 2007, p. 411-423 (DOI 10.1515/JGT.2007.032)