Théorème de Gelfand-Mazur

Dans la théorie des opérateurs, le théorème de Gelfand-Mazur (démontré par Israel Gelfand et Stanisław Mazur) est le suivant :

Théorème — Toute algèbre de Banach sur le corps des complexes qui est un corps est isomorphe au corps des complexes.

Démonstration

Soit x un élément non nul d'une telle algèbre, dont l'unité sera notée e.

${\displaystyle 1=\|x^{n}.x^{-n}\|\leq \|x\|^{n}\|x^{-n}\|}$

donc

${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\|x^{-n}\|}}\geq {\frac {1}{\|x\|}},}$

ce qui démontre d'après la règle de Cauchy que le rayon de convergence de la série entière

${\displaystyle (x-ze)^{-1}=x^{-1}\sum _{n\in \mathbb {N} }z^{n}x^{-n}}$

est fini.

Or cette série converge sur tout disque de centre 0 inclus dans le domaine de définition de la fonction ${\displaystyle z\longmapsto (x-ze)^{-1}}$. Ainsi, il existe un complexe λ tel que x – λe soit non inversible et donc x = λe puisque l'algèbre étant supposée être un corps, le seul élément non inversible est 0.

Remarque.

L'existence d'un complexe λ tel que x – λe soit non inversible, c'est-à-dire d'une valeur spectrale de x, peut aussi se déduire du fait que le spectre d'un élément d'une algèbre de Banach complexe n'est jamais vide.

Histoire

Mazur a annoncé en 1938[1],[2] le théorème plus général suivant :

Toute ℝ-algèbre associative normée à division est isomorphe à ℝ, ℂ, ou ℍ.

Sa preuve – bien que très succincte[3] – était trop longue pour être acceptée par l'éditeur, mais il en transmit les détails à son élève Wiesław Żelazko (de), qui les publia en 1968[4].

C'est donc Gelfand qui donna, en 1941[5], la première preuve publiée de l'énoncé, mais sous sa forme simplifiée (pour une ℂ-algèbre complète[6]) permettant d'utiliser la théorie des fonctions holomorphes (à valeurs dans un espace de dimension infinie mais se ramenant au cas usuel par le théorème de Hahn-Banach[3]).

Notes et références

1. S. Mazur, « Sur les anneaux linéaires », Annales de la Société polonaise de mathématiques, vol. 17, juin 1938, p. 112
2. S. Mazur, « Sur les anneaux linéaires », CRAS, vol. 207, novembre 1938, p. 1025-1027
3. Pierre Mazet, « La preuve originale de S. Mazur pour son théorème sur les algèbres normées », Gazette de la SMF, vol. 111,‎ janvier 2007 (lire en ligne)
4. dans son livre Algebry Banacha (en polonais), traduit en anglais en 1973
5. (de) I. Gelfand, « Normierte Ringe », dans Mat. Sb., vol. 51, 1941, 3-24
6. De plus, les algèbres qu'il considérait étaient commutatives, mais la preuve de ce résultat n'utilisait pas cette propriété : (en) James Michael Gardner Fell et Robert S. Doran, Representations of *-Algebras, Locally Compact Groups, and Banach *-Algebraic Bundles : Basic Representation Theory of Groups and Algebras, vol. 1, Academic Press, 1988, 746 p. (ISBN 978-0-12-252721-0, lire en ligne), p. 375

Articles connexes

• Théorème de Frobenius de 1877
• Théorème de Frobenius généralisé
• Représentation de Gelfand (en)