Théorème de Fary-Milnor

La couture d'une balle de baseball suit une courbe sans nœud, avec une courbure totale d'environ 4Π. En adoptant des configurations plus complexes, il est possible de donner aux courbes sans nœuds une courbure arbitrairement grande.

En théorie des nœuds, le théorème de Fary-Milnor dit qu'en dimension 3, une courbe fermée simple lisse dont la courbure totale est assez petite ne peut être qu'un nœud trivial. Il a été démontré indépendamment par István Fáry (en) en 1949 et John Milnor en 1950.

Énoncé

Soit K un lacet simple de l'espace euclidien R^3, suffisamment régulier pour qu'on puisse définir la courbure ${\displaystyle \kappa }$ en chacun de ses points. Si sa courbure totale ${\displaystyle \oint _{K}\kappa \,ds}$ est inférieure ou égale à 4π, alors K est un nœud trivial. De façon équivalente, si K est un nœud non trivial dans R^3, alors sa courbure totale vérifie

${\displaystyle \oint _{K}\kappa \,ds>4\pi .}$

(L'implication réciproque est fausse.)

Généralisations à des courbes non lisses

On a le même résultat pour une ligne polygonale, en remplaçant l'intégrale de la courbure par la somme des angles entre deux arêtes consécutives. En approximant les courbes par des lignes polygonales, on peut étendre la définition de la courbure totale à une classe de courbes plus générale, pour laquelle le théorème de Fary-Milnor est encore vrai (Milnor 1950, Sullivan 2007).

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Fary–Milnor theorem » (voir la liste des auteurs).
• I. Fary, « Sur la courbure totale d’une courbe gauche faisant un nœud », Bull. SMF, vol. 77,‎ 1949, p. 128–138 (lire en ligne).
• (en) J. W. Milnor, « On the total curvature of knots », Annals of Mathematics, vol. 52, n^o 2,‎ 1950, p. 248–257 (DOI 10.2307/1969467).
• (en) John M. Sullivan, « Curves of finite total curvature », arXiv,‎ 2007 (lire en ligne).

Lien externe

• (en) Stephen A. Fenner, « The total curvature of a knot », newsgroups: sci.math,sci.physics, 1990. Fenner décrit une preuve géométrique de ce théorème, et du théorème selon lequel la courbure totale d'une courbe lisse fermée vaut toujours au moins 2π.