Surface minimale de Catalan. En géométrie différentielle , une surface minimale de Catalan est une surface minimale qui a été étudiée par Eugène Charles Catalan en 1855 [ 1]
La surface a pour équations paramétriques [ 2]
x
(
u
,
v
)
=
a
(
2
u
−
sin
(
2
u
)
cosh
(
2
v
)
)
y
(
u
,
v
)
=
a
(
1
−
cos
(
2
u
)
cosh
(
2
v
)
)
z
(
u
,
v
)
=
4
a
sin
(
u
)
sinh
(
v
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=a(2u-\sin(2u)\cosh(2v))\\y(u,v)&=a(1-\cos(2u)\cosh(2v))\\z(u,v)&=4a\sin(u)\sinh(v).\end{aligned}}}
Si l'on pose
r
=
sinh
(
v
)
{\displaystyle r=\sinh(v)}
x
(
u
,
v
)
=
a
(
2
u
−
(
1
+
2
r
2
)
sin
(
2
u
)
)
y
(
u
,
v
)
=
a
(
1
−
(
1
+
2
r
2
)
cos
(
2
u
)
)
z
(
u
,
v
)
=
4
a
r
sin
(
u
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}x(u,v)&=a(2u-(1+2r^{2})\sin(2u))\\y(u,v)&=a(1-(1+2r^{2})\cos(2u))\\z(u,v)&=4ar\sin(u).\end{aligned}}}
Les lignes avec le paramètre
r
=
r
0
{\displaystyle r=r_{0}}
x
O
y
{\displaystyle xOy}
trochoïdes .
Les lignes avec le paramètre
u
=
u
0
{\displaystyle u=u_{0}}
paraboles .
La section de la surface par le plan
x
O
y
{\displaystyle xOy}
r
=
0
{\displaystyle r=0}
cycloïde .
Liens externes
Bibliographie
(en) Ulrich Dierkes, Stefan Hildebrandt (de) Friedrich Sauvigny (de) Minimal Surfaces , vol. 1, Berlin, Springer, coll. « Grundl. math. Wiss. » (no 339), 2010 , 692 p. (ISBN 978-3-642-11697-1 lire en ligne ) , p. 171 sq.
↑ E. Catalan, « Mémoire sur les surfaces dont les rayons de courbures en chaque point, sont égaux et les signes contraires », C. r. hebd. séances Acad. sci. p. 1019-1023 et 1155 [lire en ligne ] .
↑ (en) Alfred Gray , Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica , Boca Raton, CRC Press , 2e éd., 1997, p. 692-693 (« Catalan's Minimal Surface »)
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