Sommation de Mittag-Leffler

En mathématiques, la sommation de Mittag-Leffler est une variante de la sommation de Borel pour sommer certaines séries entières divergentes, qui fut introduite par Gösta Mittag-Leffler[1].

Définition

Soit

${\displaystyle y(z)=\sum _{k=0}^{\infty }y_{k}z^{k}}$

une série formelle de la variable z.

On définit la transformée ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\alpha }}$ de y par[2] :

${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\alpha }y(t)\equiv \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {y_{k}}{\Gamma (1+\alpha k)}}t^{k}.}$

La somme de Mittag-Leffler de y est donnée, si chaque somme converge et que la limite existe, par :

${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow 0}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(z).}$

Une méthode de sommation étroitement liée, aussi appelé sommation de Mittag-Leffler, est donnée comme suit[3] : supposons que, au voisinage de 0, la transformée de Borel converge vers une fonction analytique qui peut être analytiquement prolongée le long de l'axe réel positif en une fonction à croissance suffisamment lente afin que l'intégrale suivante soit bien définie (il s'agit d'une intégrale impropre). La somme de Mittag-Leffler de y est donnée par

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-t}{\mathcal {B}}_{\alpha }y(t^{\alpha }z)\,{\rm {d}}t.}$

Lorsque α = 1, on retrouve la sommation de Borel.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Mittag-Leffler summation » (voir la liste des auteurs).

1. G. Mittag-Leffler, « Sur la représentation arithmétique des fonctions analytiques d'une variable complexe », dans Atti del IV Congresso Internazionale dei Matematici (Roma, 6–11 Aprile 1908), vol. I, 1908 (lire en ligne), p. 67-86.
2. (en) I. I. Volkov, « Mittag-Leffler summation method », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, 2002 (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).
3. (en) Giovanni Sansone et Johan Gerretsen, Lectures on the Theory of Functions of a Complex Variable, vol. I : Holomorphic Functions, Groningen, P. Noordhoff, 1960 (MR 0113988).

Voir aussi

Fonction de Mittag-Leffler