Représentation induite d'un groupe fini

En mathématiques une représentation induite est une représentation d'un groupe canoniquement associée à une représentation de l'un de ses sous-groupes. L'induction est adjointe à gauche de la restriction (en). Cette propriété intervient dans la formule de réciprocité de Frobenius.

Cet article traite le cas des groupes finis.

Définitions et exemples

Dans tout l'article, G désigne un groupe fini, H un sous-groupe de G et θ une représentation de H dans un espace vectoriel de dimension finie W sur un corps K. G/H désigne l'ensemble des classes à gauche modulo H.

Définitions

• La représentation induite par une représentation θ du sous-groupe H de G est la représentation de G, notée ρ = Ind^G
  _H θ, ou simplement Ind(θ) s'il n'y a pas de risque d'ambiguïté, telle que :
  • θ est une sous-représentation de la restriction Res^G
    _H(ρ) de ρ à H ;
  • pour toute représentation σ de G, le morphisme naturel suivant est un isomorphisme entre espaces des morphismes de représentations :${\displaystyle \hom _{G}(\mathrm {Ind} _{H}^{G}\theta ,\sigma ){\overset {\sim }{\to }}\hom _{H}(\theta ,\mathrm {Res} _{H}^{G}\sigma )}$.

Son unicité (à isomorphisme près) est garantie par cette propriété universelle d'adjonction, et son existence est assurée par la construction ci-dessous.

• Si ψ désigne le caractère de θ, celui de ρ dépend uniquement de ψ. Il est donc appelé caractère induit par ψ et noté Ind(ψ) ou encore Ind^G
  _H (ψ) si un risque d'ambiguïté existe.

Construction

Soit W le K[H]-module sous-jacent à la représentation θ de H, et soit ρ la représentation de G associée au K[G]-module

${\displaystyle V=K[G]\otimes _{K[H]}W.}$

Alors ρ = Ind^G
_H θ, puisque :

• W = K[H]⊗_K[H]W est bien un sous-K[H]-module de V ;
• pour tout K[G]-module E, on a un isomorphisme naturel :${\displaystyle \hom _{K[G]}(V,E){\overset {\sim }{\to }}\hom _{K[H]}(W,E)}$qui peut se « déduire de la formule Hom(A,Hom(B,C))=Hom(A⊗B,C) » (Serre, p. II - 7) ou se détailler de façon plus élémentaire (Serre, p. II - 6) en vérifiant la bijectivité de l'application linéaire qui, à tout G-morphisme f de V dans E, associe le H-morphisme restriction de f à W.

Exemples

• Si H = G, alors Ind^G
  _H θ = θ.
• Si θ est la représentation triviale de H, alors Ind^G
  _H θ est la représentation par permutations associée à l'action naturelle de G sur G/H.
• Si θ est la représentation régulière de H, alors Ind^G
  _H θ est la représentation régulière de G[1].

Propriétés

Premières propriétés

• Une représentation (V,ρ) de G est équivalente à Ind^G
  _H θ si et seulement si :
  • W est un sous-K[H]-module de V ;
  • V = ⊕_c∊G/H cW, où la notation cW signifie : ρ_s(W) pour n'importe quel élément s de la classe à gauche c. (Un tel ρ_s(W) ne dépend pas du choix de s dans c puisque si tH = c =sH alors t est de la forme sh pour un certain élément h de H, si bien que ρ_t(W) = ρ_s(ρ_h(W)) = ρ_s(W).)

Exemples

• Soient G le groupe symétrique S₃, engendré par un 3-cycle c et une transposition t, H le sous-groupe alterné A₃ = {1, c, c^2}, W = ℂe₁ et θ la représentation de H sur W définie par θ_c(e₁) = je₁. Alors G/H = {H, tH} et Ind^G
  _H θ est la représentation ρ de G sur V = ℂe₁⊕ℂe₂ définie par : ρ_t(e₁) = e₂ et ρ_c(e₁) = je₁. On montre facilement que ρ est irréductible (par exemple en vérifiant que son caractère est de norme 1). C'est donc la représentation irréductible complexe de S₃ de degré 2.
• Soient G le groupe des quaternions Q = {±1, ±i, ±j, ±k}, engendré par i et j, H le sous-groupe {1, i, –1, –i}, W = ℂe₁ et θ la représentation de H sur W définie par θ_i(e₁) = ie₁. Alors G/H = {H, jH} et Ind^G
  _H θ est la représentation ρ de G sur V = ℂe₁⊕ℂe₂ définie par : ρ_j(e₁) = e₂ et ρ_i(e₁) = ie₁. On vérifie facilement, comme précédemment, que ρ est irréductible. C'est donc la représentation irréductible complexe de Q de degré 2.

• Pour toute sous-représentation θ' de θ, Ind^G
  _H (θ') est une sous-représentation de Ind^G
  _H (θ).
• Pour toutes représentations θ₁ et θ₂ de H, on a : Ind^G
  _H (θ₁⊕θ₂) = (Ind^G
  _H θ₁)⊕(Ind^G
  _H θ₂).

Démonstrations

• Une représentation (V,ρ) de G est équivalente à Ind^G
  _H θ si et seulement si W est un sous-K[H]-module de V et V = ⊕_c∊G/H cW (Serre, p. II - 5).

La représentation (V, ρ) définie dans la construction vérifie bien ces propriétés : il suffit pour cela de remarquer que K[G] est un K[H]-module libre (à droite), de base une transversale à gauche de H dans G. Réciproquement, « l'unicité est immédiate », c'est-à-dire que deux représentations de G vérifiant ces propriétés sont clairement isomorphes.

• Pour toute sous-représentation θ' de θ, Ind^G
  _H (θ') est une sous-représentation de Ind^G
  _H (θ).

Si W' est un sous-K[H]-module de W alors K[G]⊗_K[H]W' est un sous-K[G]-module de K[G]⊗_K[H]W.

• Pour toutes représentations θ₁ et θ₂ de H, on a : Ind^G
  _H (θ₁⊕θ₂) = (Ind^G
  _H θ₁)⊕(Ind^G
  _H θ₂).

Pour tous K[H]-modules W₁ et W₂, K[G]⊗_K[H](W₁⊕W₂) = (K[G]⊗_K[H]W₁)⊕(K[G]⊗_K[H]W₂).

Caractère

• Le caractère χ de la représentation (V,ρ) = Ind^G
  _H θ s'exprime en fonction du caractère ψ de (W, θ) par la formule suivante, dans laquelle C désigne une transversale à gauche de H dans G, et h l'ordre de H :${\displaystyle \forall t\in G\quad \chi (t)=\sum _{c\in C \atop c^{-1}tc\in H}\psi (c^{-1}tc)={\frac {1}{h}}\sum _{s\in G \atop s^{-1}ts\in H}\psi (s^{-1}ts).}$

Démonstration

L'élément ρ_t définit un automorphisme de V qui permute les ρ_cW, donc sa trace χ(t) = Tr(ρ_t) est la somme des traces des restrictions de cet automorphisme aux ρ_cW qu'il laisse invariants, ce qui équivaut pour c à la relation c^−1tc ∊ H. D'où :

${\displaystyle \chi (t)=\sum _{c\in C \atop c^{-1}tc\in H}\mathrm {Tr} ((\rho _{t})_{|\rho _{c}W}).}$

Or si c^−1tc ∊ H, on a :

${\displaystyle \forall w\in W\quad \rho _{c^{-1}}\circ \rho _{t}\circ \rho _{c}(w)=\theta _{c^{-1}tc}(w)\quad {\text{donc}}\quad \mathrm {Tr} ((\rho _{t})_{|\rho _{c}W})=\mathrm {Tr} (\theta _{c^{-1}tc})=\psi (c^{-1}tc),}$

ce qui démontre la première formule.

Pour la deuxième (qui n'a de sens que si h est inversible dans K) il suffit de remarquer que pour tout s ∊ cH, s^−1ts est conjugué de c^−1tc par un élément de H, et d'utiliser que ψ est centrale.

On étend cette formule aux fonctions centrales par la définition suivante :

• Soient f une fonction centrale sur H à valeurs dans K et C une transversale à gauche de H dans G, alors la fonction Ind^G
  _H (f ) est définie par :${\displaystyle \forall t\in G\quad \mathrm {Ind} _{H}^{G}f(t)=\sum _{c\in C \atop c^{-1}tc\in H}f(c^{-1}tc).}$

Réciprocité de Frobenius

On suppose que la caractéristique de K ne divise pas l'ordre de G. La formule de réciprocité de Frobenius s'exprime alors par :

• Pour tout caractère ψ d'une représentation de H et tout caractère χ d'une représentation de G, les deux scalaires suivants sont égaux :

${\displaystyle \langle \mathrm {Ind} _{H}^{G}\;\psi \mid \chi \rangle _{G}=\langle \psi \mid \mathrm {Res} _{H}^{G}\;\chi \rangle _{H}.}$

Cette formule est une conséquence de la propriété d'adjonction qui définit la représentation induite. Elle s'étend linéairement aux fonctions centrales.

Critère d'irréductibilité de Mackey

On suppose que la caractéristique de K est nulle et que le polynôme X^e – 1, où e désigne l'exposant de G, est scindé sur K. Ainsi, les caractères irréductibles de G forment une base orthonormale des fonctions centrales à valeurs dans K et toute représentation est entièrement déterminée (à équivalence près) par son caractère. On peut prendre par exemple pour K le corps des nombres complexes.

Une double application de la formule de réciprocité de Frobenius décrite ci-dessus permet, sous ces hypothèses, de démontrer le cas particulier suivant du critère d'irréductibilité de Mackey. Deux définitions sont nécessaires pour l'exprimer. Pour tout élément s de G, H_s désigne ici l'intersection de H avec son conjugué par s et θ^s désigne la représentation sur W de ce sous-groupe H_s = sHs^−1 ∩ H définie par :

${\displaystyle \forall u\in H_{s}\quad \theta ^{s}(u)=\theta (s^{-1}us).}$

Le critère s'énonce de la manière suivante :

• La représentation Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et pour tout s ∉ H, la restriction de θ à H_s est disjointe de θ^s.

On en déduit le corollaire suivant :

• Si H est normal dans G, Ind(θ) est irréductible si et seulement si θ est irréductible et n'est isomorphe à aucune des θ^s, pour s ∉ H.

Références

1. (en) Jean-Pierre Serre, Linear Representations of Finite Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 42), 2012 (lire en ligne), p. 29.

Bibliographie

Jean-Pierre Serre, Représentations linéaires des groupes finis [détail des éditions]