Processus de Kiefer

Le processus de Kiefer est un mouvement brownien ${\displaystyle (K(t,x))_{0\leq t\leq 1,x\geq 0}}$ à deux paramètres introduit par le mathématicien américain Jack Kiefer afin de voir le processus empirique comme un processus gaussien à deux paramètres. En particulier, en fixant le paramètre ${\displaystyle x}$ le processus de Kiefer est un pont brownien et en fixant le paramètre ${\displaystyle t}$ il devient un mouvement brownien.

Définition et propriétés

Soit ${\displaystyle W(t,x)}$ un processus de Wiener (ou mouvement brownien) à deux paramètres. Un processus de Kiefer ${\displaystyle (K(t,x))_{0\leq t\leq 1,x\geq 0}}$ est défini par

${\displaystyle K(t,x)=W(t,x)-tW(1,x).}$

Le processus de Kiefer vérifie les propriétés suivantes :

• Si on fixe le paramètre ${\displaystyle t}$, le processus de Kiefer est un mouvement brownien. Formellement,
  ${\displaystyle \forall 0<t_{0}<1,W(x)={\frac {K(t_{0},x)}{\sqrt {t_{0}(1-t_{0})}}},x\geq 0}$
  est un mouvement brownien ;
• Si on fixe le paramètre ${\displaystyle x}$, le processus de Kiefer est un pont brownien. Formellement,
  ${\displaystyle \forall x_{0}>0,P(t)={\frac {K(t,x_{0})}{\sqrt {x_{0}}}},0\leq t\leq 1}$
  est un pont brownien. ;
• ${\displaystyle P_{n}(t)=K(t,n)-K(t,n-1),0\leq t\leq 1,n\in \mathbb {N} ^{*}}$ est une suite de ponts browniens indépendants ;
• ${\displaystyle \mathbb {E} [K(t,x)]=0}$ et la fonction de covariance de ${\displaystyle K(t,x)}$ est donnée par
  ${\displaystyle \mathbb {E} [K(t_{1},x_{1})K(t_{2},x_{2})]=(t_{1}\wedge t_{2}-t_{1}t_{2})(x_{1}\wedge x_{2}).}$

Approximation forte du processus empirique

Jack Kiefer fut le premier mathématicien à considérer le processus empirique ${\displaystyle \alpha _{n}(t)}$ comme un processus à deux paramètres et que celui-ci devait par conséquent être approché par un processus gaussien bidimensionnel. Il prouve notamment que si ${\displaystyle (U_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$ est une suite de variables i.i.d. de loi uniforme sur ${\displaystyle [0,1]}$, il existe un processus de Kiefer ${\displaystyle (K(t,x))_{0\leq t\leq 1,x\geq 0}}$ vérifiant presque-sûrement[1]

${\displaystyle \sup _{t\in [0,1]}|{\sqrt {n}}\alpha _{n}(t)-K(t,n)|=O(n^{1/3}(\log n)^{2/3}).}$

Les mathématiciens Komlós, Tusnády et Major approchent fortement le processus empirique uniforme avec le processus de Kiefer avec une meilleure borne[2],[3]. Précisément, si ${\displaystyle (U_{n})_{n\in \mathbb {N} ^{*}}}$ est une suite de variables i.i.d. de loi uniforme sur ${\displaystyle [0,1]}$ alors il existe un processus de Kiefer ${\displaystyle (K(t,x))_{0\leq t\leq 1,x\geq 0}}$ tel que pour tout ${\displaystyle x,n}$, presque-sûrement [4]

${\displaystyle \mathbb {P} \left(\max _{1\leq k\leq n}\sup _{t\in [0,1]}|k^{1/2}\alpha _{k}(t)-K(t,k)|>(C\log n+x)\log n\right)<Le^{-\lambda x}}$

où ${\displaystyle C,\lambda ,L}$ sont des constantes universelles positives. Ce qui entraîne d'après le lemme de Borel-Cantelli : presque-sûrement,

${\displaystyle \sup _{0\leq t\leq 1}|n^{1/2}\alpha _{n}(t)-K(t,n)|=O(\log ^{2}n).}$

Références

1. (en) Jack Kiefer, « Skorohod Embedding of Multivariate RV's and the sample DF », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw. Gebiete, vol. 24,‎ 1972, p. 1-35
2. (en) J. Komlos, P. Major et G. Tusnady, « An approximation of partial sums of independent RV’-s, and the sample DF. I », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw, n^o Gebiete 32,‎ 1975, p. 211-226 (lire en ligne)
3. (en) J. Komlos, P. Major et G. Tusnady, « An approximation of partial sums of independent RV'-s and the sample DF. II », Z. Wahrscheinlichkeitstheorie verw, n^o Gebiete 34,‎ 1975, p. 33-58 (lire en ligne)
4. (en) M. Csörgo et P. Révész, Strong approximations in probability and statistics