Polyhex

En mathématiques récréatives, un polyhex est un polyforme avec un hexagone régulier (ou 'hex' pour faire court) comme forme de base.

Énumération

Comme les polyominos, les polyhexs peuvent être dénombrés sous forme de polyhexs libres (où les rotations et les réflexions ont la même forme), les polyhexs fixes (où différentes orientations sont distinctes) et les polyhexs unilatéraux (où les images miroir comptent comme distinctes mais les rotations comptent comme identiques). Ils peuvent également être distingués selon s'ils contiennent des trous ou pas. Le nombre de polyhex pour n = 1, 2, 3, ... hexagones est donné dans l'Encyclopédie en ligne des suites de nombres entiers sous forme de codes OEIS[1],[2].

n	Libres OEIS A000228	Libres avec trous OEIS A038144	Libres sans trous OEIS A018190	Unilatéraux OEIS A006535	Fixes OEIS A001207
1	1	0	1	1	1
2	1	0	1	1	3
3	3	0	3	3	11
4	7	0	7	10	44
5	22	0	22	33	186
6	82	1	81	147	814
7	333	2	331	620	3652
8	1448	13	1435	2821	16689
9	6572	67	6505	12942	77359
10	30490	404	30086	60639	362671

Pavage

Tous les polyhexs ayant moins de cinq hexagones peuvent former au moins un pavage plan régulier. De plus, les pavages plans du dihex et des polyhex droits sont invariants par rotation et par réflexion de 180 degrés parallèles ou perpendiculaires au grand axe du dihex (ordre 2 en rotation et ordre 4 en réflexion), et le pavage hexagonal et quelques autres polyhexs (comme l'hexahex avec un trou, ci-dessous) sont invariants sous 60, 120 ou 180° de rotation (ordre 6 en rotation et en réflexion).

Le monohex
Le dihex
Les 3 trihexes
Les 7 tetrahexes
Les 22 pentahexes
Les 82 hexahexes dont un a un trou

Voir aussi

• Hydrocarbure aromatique polycyclique - hydrocarbures dont la structure est à base de polyhexes

Références

1. Wolfram Mathworld: Polyhex
2. Glenn C. Rhoads, Planar tilings by polyominoes, polyhexes, and polyiamonds, Journal of Computational and Applied Mathematics 174 (2005), No. 2, pp 329–353