Plus grand petit polygone

Le petit polygone à 6 côtés d'aire maximale (à gauche) ; à droite le polygone régulier de même diamètre mais d'aire plus petite.

En géométrie, un plus grand petit polygone, pour un nombre ${\displaystyle n\geqslant 3}$ de côtés, est un polygone convexe, de diamètre unité (dont la distance entre deux de ses points est au maximum égale à 1), qui a une aire maximale parmi tous les ${\displaystyle n}$-gones de diamètre unité.

Pour ${\displaystyle n}$ = 4 une solution est le carré mais il y en a d'autres ; pour ${\displaystyle n}$ impair, la solution unique est le polygone régulier mais pour ${\displaystyle n}$ pair la solution est irrégulière.

Cas des quadrilatères

Pour ${\displaystyle n}$ = 4, l'aire d'un quadrilatère arbitraire est donnée par la formule ${\displaystyle S=1/2pq\sin \theta }$ où ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ sont les longueurs des diagonales du quadrilatère et ${\displaystyle \theta }$ est l'un des angles qu'elles forment l'une avec l'autre. Pour que le diamètre soit au plus égal à 1, ${\displaystyle p}$ et ${\displaystyle q}$ doivent eux-mêmes être au plus égaux à 1. Par conséquent, le quadrilatère a la plus grande aire lorsque les trois facteurs de la formule d'aire sont maximisés individuellement, soit lorsque ${\displaystyle p=q=1}$ et ${\displaystyle \sin \theta =1}$. La condition ${\displaystyle p=q}$ signifie que le quadrilatère est équidiagonal (diagonales de même longueur), et la condition ${\displaystyle \sin \theta =1}$ signifie qu'il s'agit d'un quadrilatère orthodiagonal (ses diagonales se croisent à angle droit). Les quadrilatères de ce type comprennent le carré à diagonales unitaires, dont l'aire est égale à 1/2. Cependant, une infinité d'autres quadrilatères orthodiagonaux et équidiagonaux ont également un diamètre unité et ont la même aire que le carré (les pseudo-carrés) donc dans ce cas la solution n'est pas unique[1].

Cas d'un nombre impair de côtés

Pour les valeurs impaires de ${\displaystyle n}$, Karl Reinhardt a montré en 1922 que c'est le polygone régulier qui a la plus grande aire parmi tous les polygones de diamètre donné[2].

Cas d'un nombre pair de côtés

Dans le cas ${\displaystyle n}$ = 6, le polygone optimal unique n'est pas régulier. La solution dans ce cas a été publiée en 1975 par Ronald Graham, en réponse à une question posée en 1956 par Hanfried Lenz[3]. Elle prend la forme d'un pentagone équidiagonal irrégulier avec un triangle isocèle obtus fixé à l'un de ses côtés, avec la distance du sommet du triangle au sommet opposé du pentagone égale aux longueurs des diagonales du pentagone. Son aire est égale à 0,674981.... (suite A111969 de l'OEIS), nombre, non exprimable par radicaux car il a pour groupe de Galois S₁₀, solution de l'équation :

4096 x^10 +8192x ^9 − 3008 x^8 − 30848 x^7 + 21056 x^6 + 146496 x^5 − 221360 x^4 + 1232 x^3 + 144464 x^2 − 78488 x + 11993 = 0.

Graham a émis l'hypothèse que la solution optimale pour le cas général des valeurs paires de ${\displaystyle n}$ consiste de la même manière en un (${\displaystyle n}$−1)-gone équidiagonal avec un triangle isocèle fixé à l'un de ses côtés, son sommet à une distance unitaire du sommet opposé du (n−1)-gone. Dans le cas ${\displaystyle n}$ = 8 ceci a été vérifié par un calcul informatique par Audet et al [4],[1]. La preuve de Graham que son hexagone est optimal, et la preuve informatique du ${\displaystyle n}$ = 8 cas, tous deux impliquaient une analyse de cas de tous les "thrackles" à ${\displaystyle n}$ sommets possibles avec des arêtes rectilignes.

La conjecture complète de Graham, caractérisant la solution au problème du plus grand petit polygone pour toutes les valeurs paires de ${\displaystyle n}$, a été prouvée en 2007 par Foster et Szabo[5].

Voir aussi

• Petit octogone de Hansen
• Polygone de Reinhardt, polygone maximisant le périmètre, et la largeur pour un diamètre donné, et maximisant la largeur pour un périmètre donné.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Biggest little polygone » (voir la liste des auteurs).

1. Charles AUDET, Pierre HANSEN, Frédéric MESSINE, « La saga des trois octogones », DOSSIER POUR LA SCIENCE N° 91,‎ 6 avril 2016, p. 23 (lire en ligne)
2. (de) K. Reinhardt, « Extremale Polygone gegebenen Durchmessers », Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung, vol. 31,‎ 1922, p. 251–270. (lire en ligne)
3. (en) R. L. Graham,, « The largest small hexagon », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 18, n^o 2,‎ 1975, p. 165-170 (lire en ligne)
4. (en) Charles Audet, Pierre Hansen, Frédéric Messine, Junjie Xiong, « The largest small octagon », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 98, n^o 1,‎ 2002, p. 46-59 (DOI 10.1006/jcta.2001.3225)
5. (en) Jim Foster, Tamas Szabo, « Diameter graphs of polygons and the proof of a conjecture of Graham », Journal of Combinatorial Theory, a, vol. 114, n^o 8,‎ 2007, p. 1515–1525 (DOI 10.1016/j.jcta.2007.02.006)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Biggest little polygon », sur MathWorld
• Graham's Largest Small Hexagon, sur Hall of Hexagons