Multirésolution

En mathématiques, une approximation multirésolution désigne une suite de sous-espaces vectoriels vérifiant un ensemble de caractéristiques.

Définition

Une suite ${\displaystyle (V_{j})_{j\in \mathbb {Z} }}$ de sous-espaces vectoriels fermés de L^2(R) est une approximation multirésolution si elle vérifie les cinq propriétés suivantes[1] :

• ${\displaystyle \forall j\in \mathbb {Z} \quad V_{j+1}\subset V_{j}}$
• ${\displaystyle {\overline {\bigcup _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}}}=L^{2}(\mathbb {R} ){\text{ et }}\bigcap _{j\in \mathbb {Z} }V_{j}=\{0\}}$
• ${\displaystyle \forall j\in \mathbb {Z} \quad f\in V_{j}\iff f(2\cdot )\in V_{j+1}}$
• ${\displaystyle \forall (j,k)\in \mathbb {Z} ^{2}\quad f\in V_{j}\iff f(\cdot -2^{-j}k)\in V_{j}}$
• Il existe ${\displaystyle \theta \in V_{0}}$ tel que ${\displaystyle \left(\theta (\cdot -n)_{n\in \mathbb {Z} }\right)}$ soit une base de Riesz de ${\displaystyle V_{0}}$.

Références

1. (en) Stéphane Mallat, « Multiresolution approximations and wavelet orthonormal bases of L^2(R) », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 315, n^o 1,‎ 1989, p. 69-87 (DOI 10.2307/2001373, lire en ligne).

Bibliographie

Yves Meyer, Ondelettes et opérateurs, vol. I, Hermann, 1990