Multi-indice

En mathématiques, les multi-indices généralisent la notion d'indice entier en permettant d'envisager plusieurs variables entières pour une indexation. L'utilisation des multi-indices a pour but de simplifier les formules qu'on rencontre dans le calcul à plusieurs variables, que ce soit pour le calcul polynomial ou en analyse vectorielle.

Un multi-indice de taille n est un vecteur

${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n})}$

à coefficients ${\displaystyle \alpha _{i}}$ entiers positifs.

Au multi-indice α est associé sa longueur (parfois appelée module) ${\displaystyle |\alpha |}$, définie par :

${\displaystyle |\alpha |\ =\ \sum _{k=1}^{n}\alpha _{k}\ =\ \alpha _{1}\ +\ \dots \ +\ \alpha _{n}}$

Notations adaptées

On utilise pour un vecteur ${\displaystyle \mathbf {x} }$ de composantes ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$, une notation sous forme d'exponentiation pour représenter le calcul polynomial

${\displaystyle \mathbf {x} ^{\alpha }=x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\ldots x_{n}^{\alpha _{n}}=\prod _{k=1}^{n}x_{k}^{\alpha _{k}}}$

Et on peut introduire l'opérateur différentiel

${\displaystyle \partial ^{\alpha }:=\partial _{1}^{\alpha _{1}}\partial _{2}^{\alpha _{2}}\ldots \partial _{n}^{\alpha _{n}}\qquad {\hbox{avec}}\qquad \partial _{i}^{j}:={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{i}^{j}}}.}$

Il faut prendre garde à n'utiliser cette notation que dans le cas de fonctions pour lesquelles l'ordre des dérivations n'importe pas (c'est-à-dire vérifiant par exemple les conditions du théorème de Schwarz).

Plus généralement, on peut définir un opérateur différentiel d'ordre N pour n variables par une formule telle que

${\displaystyle P(\partial )=\sum _{|\alpha |\leq N}{}{a_{\alpha }(x)\partial ^{\alpha }}}$

Pour écrire les formules classiques, on introduit une multi-factorielle généralisant la factorielle :

${\displaystyle \alpha \,!\ =\ \prod _{k=1}^{n}(\,\alpha _{k}\,!\,)\ =\ \alpha _{1}\,!\ \times \ \dots \ \times \ \alpha _{n}\,!}$

Et il est possible de généraliser les coefficients binomiaux :

${\displaystyle {\alpha \choose \beta }={\frac {\alpha !}{(\alpha -\beta )!\,\beta !}}={\alpha _{1} \choose \beta _{1}}{\alpha _{2} \choose \beta _{2}}\ldots {\alpha _{n} \choose \beta _{n}}}$

Les coefficients multinomiaux peuvent également s'écrire à l'aide d'une notation multi-indice :

${\displaystyle {\binom {k}{\alpha }}={\frac {k!}{\alpha _{1}!\alpha _{2}!\cdots \alpha _{n}!}}={\frac {k!}{\alpha !}}}$ où ${\displaystyle |\alpha |=k\,}$

Enfin pour décrire les domaines d'indexation il est utile de donner une relation d'ordre partielle sur les multi-indices

${\displaystyle \alpha \leq \beta \quad \Longleftrightarrow \quad \forall i\in [\![1;n]\!],\quad \alpha _{i}\leq \beta _{i}\quad }$

Application à des formules usuelles

Avec ces notations un certain nombre de formules classiques s'écrivent de façon relativement compacte et admettent des généralisations vectorielles.

Calcul polynomial

Généralisation de la formule du binôme de Newton

${\displaystyle \left(\mathbf {x} +\mathbf {y} \right)^{\alpha }=\sum _{\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }\,\mathbf {x} ^{\alpha -\beta }\mathbf {y} ^{\beta }}$

On peut également donner une écriture compacte de la formule du multinôme

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{k}=\sum _{|\alpha |=k}^{}{{\frac {k!}{\alpha !}}\,\mathbf {x} ^{\alpha }}}$

Il est souvent utile de disposer de l'effet d'un opérateur différentiel sur un monôme

${\displaystyle \partial ^{i}x^{k}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {k!}{(k-i)!}}x^{k-i}&{\hbox{si}}\,\,i\leq k\\0&{\hbox{sinon.}}\end{matrix}}\right.}$

Calcul infinitésimal

Généralisation de la formule de Leibniz pour deux fonctions numériques suffisamment régulières u, v

${\displaystyle \partial ^{\alpha }(uv)=\sum _{\nu \leq \alpha }^{}{{\alpha \choose \nu }\partial ^{\nu }u\,\partial ^{\alpha -\nu }v}}$

Il en découle une formule d'intégration par parties : pour des fonctions suffisamment régulières dont l'une au moins est à support compact il vient

${\displaystyle \int {u(\partial ^{\alpha }v)}\,dx=(-1)^{|\alpha |}\int {(\partial ^{\alpha }u)v\,dx}}$

Formule qui est utile par exemple en distribution.

Écriture des différentes formules de Taylor: pour une fonction suffisamment régulière

${\displaystyle f(\mathbf {x} +\mathbf {h} )=\sum _{|\alpha |\leq n}{{\frac {\partial ^{\alpha }f(\mathbf {x} )}{|\alpha |!}}\mathbf {h} ^{\alpha }}+R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )}$

où l'expression du dernier terme (reste) dépend de la formule utilisée. Par exemple pour la formule avec reste intégral il vient

${\displaystyle R_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=(n+1)\sum _{|\alpha |=n+1}{\frac {\mathbf {h} ^{\alpha }}{|\alpha |!}}\int _{0}^{1}(1-t)^{n}\partial ^{\alpha }f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\,dt}$