Mesure spectrale

En mathématiques, plus précisément en analyse fonctionnelle, une mesure spectrale est une application définie sur une tribu à valeurs dans l'espace des projections orthogonales d'un espace hilbertien et vérifiant des axiomes semblables à ceux qui définissent les mesures positives. Les mesures spectrales sont utilisées pour exprimer des résultats en théorie spectrale, tels que le théorème spectral pour les opérateurs auto-adjoints.

Les mesures spectrales ont des propriétés similaires aux mesures réelles positives.

Définition formelle

Soit ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ un espace mesurable, c'est-à-dire un ensemble ${\displaystyle X}$ muni d'une tribu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$. Une mesure spectrale, aussi appelée homorphisme spectral, est une application ${\displaystyle \varphi }$ définie sur l'algèbre ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ des fonctions complexes mesurables bornées sur ${\displaystyle X}$ ayant les propriétés suivantes :

1. ${\displaystyle \varphi }$ est un morphisme involutif de l'algèbre ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ dans l'algèbre involutive des opérateurs bornés dans un espace hilbertien ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$
2. Si ${\displaystyle \xi \in {\mathfrak {H}}}$, alors la fonction d'ensemble

${\displaystyle \nu (E)=\langle \varphi (E)\xi \mid \xi \rangle }$

est une mesure à valeurs complexes.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Projection-valued measure » (voir la liste des auteurs).