Mesure sigma-finie

Soit (X, Σ, μ) un espace mesuré. On dit que la mesure μ est σ-finie lorsqu'il existe un recouvrement dénombrable de X par des sous-ensembles de mesure finie, c'est-à-dire lorsqu'il existe une suite (E_n)_n∈ℕ d'éléments de la tribu Σ, tous de mesure finie, avec

${\displaystyle X=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}.}$

Exemples

• Mesure finie
• Mesure de comptage sur un ensemble dénombrable
• Mesure de Lebesgue. En effet, l'ensemble des intervalles ${\displaystyle [k,k+1)}$ pour tous les nombres entiers ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$ est un recouvrement dénombrable de ${\displaystyle \mathbb {R} }$, et chacun des intervalles est de mesure 1.

• Plus généralement, mesure de Haar sur un groupe localement compact σ-compact

Propriétés

• En remplaçant E_n par F_n = E₀ ∪ … ∪ E_n, on obtient une suite vérifiant les mêmes propriétés et qui de plus est croissante pour l'inclusion, donc μ(X) = lim μ(F_n).
• En remplaçant F_n par G_n = F_n\F_{n – 1}, on obtient une suite vérifiant les mêmes hypothèses que (E_n)_n∈ℕ et qui de plus est constituée de parties disjointes deux à deux, donc μ(X) = ∑_n∈ℕ μ(G_n).
• Si Y est un élément de Σ, la restriction de μ à Y est encore σ-finie.

Usages

• Théorème d'extension de Carathéodory
• Unicité d'une mesure produit
• Théorème de Fubini
• Théorème d'Egoroff
• Cas extrémal de l'inégalité de Hölder
• Théorème de Radon-Nikodym-Lebesgue
• Lien entre mesure complétée et mesure extérieure