Fille et petite fille de joueurs de squash, elle est rapidement initiée à ce sport et à l'âge de huit ans, après avoir hésité entre le cricket et le squash, elle se consacre au squash[5].
Joshna Chinappa est la première joueuse indienne à gagner le British Junior Open en 2005 dans la catégorie des moins de 19 ans[6]. Elle est également la plus jeune championne d'Inde, titre qu'elle remporte à 18 reprises. Joshna Chinappa est la première bénéficiaire du Mittal Champions Trust(en), initiative de Lakshmi Mittal pour promouvoir le sport indien[7].
En 2018, elle bat pour la première fois la superstar Nicol David lors du tournoi El Gouna International au 2e tour[8] et elle récidive lors de l'épreuve par équipes des Jeux asiatiques en novembre de la même année permettant l’élimination de la Malaisie, grande favorite de l'épreuve[9]. En , elle obtient son 16e titre de championne d'Inde, un record[10]. En mars 2019, elle élimine Nicol David au 1er tour du tournoi PSA Gold Black Ball Squash Open avant de confirmer face à la 6e joueuse mondiale Sarah-Jane Perry. Elle s'incline finalement dans un match très accroché face à Joelle King. En , elle est opérée d'un genou et retrouve les courts en mai 2024[11]. Elle fait son retour au premier plan lors du Monte-Carlo Squash Classic 2024 en novembre 2024 lorsque classée 380e mondiale et un seul tournoi disputé lors des 14 derniers mois, elle s'impose face à Mélissa Alves[12] puis Alicia Mead pour atteindre les demi-finales[13].