Intégrale d'Itō

Tracé d'une trajectoire échantillon d'un processus de Wiener, ou mouvement brownien, B, ainsi que son intégrale d'Itô par rapport à lui-même. L'intégration par parties ou le lemme d'Itō montre que l'intégrale est égale à (B2 - t)/2.

L'intégrale d'Itō, appelée en l'honneur du mathématicien Kiyoshi Itō, est un des outils fondamentaux du calcul stochastique. Elle a d'importantes applications en mathématique financière et pour la résolution des équations différentielles stochastiques.

Elle généralise de façon stochastique l'intégrale de Stieltjes. L'intégrande H et l'intégrateur sont tous deux des processus stochastiques :

${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}H_{s}\,dX_{s},}$

où H est un processus carré-intégrable localement adapté au filtre (au sens probabiliste) généré par X[1], qui est un mouvement brownien ou, de façon plus générale une semi-martingale. Le résultat de l'intégration, Y, est aussi un processus stochastique.

Description

Il s'agit d'une intégrale définie de façon similaire à l'intégrale de Riemann comme limite d'une somme de Riemann. Si on se donne un processus de Wiener (ou mouvement brownien) ${\displaystyle B:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} \,}$ ainsi que ${\displaystyle X:[0,T]\times \Omega \to \mathbb {R} }$ un processus stochastique adapté à la filtration naturelle associée à ${\displaystyle B_{t}}$, alors l'intégrale d'Itō

${\displaystyle \int _{0}^{T}X_{t}\,\mathrm {d} B_{t}:\Omega \to \mathbb {R} }$

est définie par la limite en moyenne quadratique de

${\displaystyle \sum _{i=0}^{k-1}X_{t_{i}}\left(B_{t_{i+1}}-B_{t_{i}}\right)}$

lorsque le pas de la partition ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}=T}$ de ${\displaystyle [0,T]}$ tend vers 0.

Ces sommes, considérées comme des sommes de Riemann-Stieltjes pour chaque chemin du mouvement brownien donné, ne convergent pas en général ; la raison en est que le mouvement brownien n'est pas à variations bornées. L'usage de la convergence quadratique est le point essentiel de cette définition.

Propriétés

Avec les notations précédentes, le processus stochastique Y défini, pour t réel positif, par ${\displaystyle Y_{t}=\int _{0}^{t}{X_{s}\mathrm {d} B_{s}}}$, est une martingale. En particulier, son espérance est constante.

D'autre part, on a la propriété dite d'isométrie: ${\displaystyle E(Y_{t}^{2})=\int _{0}^{t}{E(X_{s}^{2})\mathrm {d} s}}$. Cette dernière intégrale est « classique », c'est-à-dire qu'elle est une intégrale au sens de Riemann par rapport à la variable s.

Notes et références

1. Revuz et Yor 1999, Chapter IV.

Bibliographie

• (en) Daniel Revuz et Marc Yor, Continuous martingales and Brownian motion, Berlin, Springer, 1999 (ISBN 3-540-57622-3)

Articles connexes

• Processus d'Itō
• Lemme d'Itō
• Calcul stochastique
• Intégrale de Stratonovich