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Tracé d'une réalisation d'un processus de Wiener B et de son intégrale d'Itō par rapport à lui-même. La formule d'Itō permet de calculer analytiquement cette intégrale. Le lemme d'Itō , ou formule d'Itō , est l'un des principaux résultats de la théorie du calcul stochastique , qui permet d'exprimer la différentielle d'une fonction d'un processus stochastique au cours du temps. Ce lemme offre un moyen de manipuler le mouvement brownien ou les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS).
Histoire
La formule d'Itō a été démontrée pour la première fois par le mathématicien japonais Kiyoshi Itō dans les années 1940.
Le mathématicien Wolfgang Doeblin avait de son côté ébauché une théorie similaire avant de se suicider à la défaite de son bataillon en juin 1940 . Ses travaux furent envoyés à l'Académie des sciences dans un pli cacheté qui ne fut ouvert qu'en 2000.
Soit un processus d'Itô
X
t
,
{\displaystyle X_{t}\ ,}
processus stochastique de la forme
X
t
=
X
0
+
∫
0
t
μ
s
d
s
+
∫
0
t
σ
s
d
B
s
,
{\displaystyle X_{t}=X_{0}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,\mathrm {d} s+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,\mathrm {d} B_{s},}
autrement formulé, on a
d
X
t
=
μ
t
d
t
+
σ
t
d
B
t
{\displaystyle \mathrm {d} X_{t}=\mu _{t}\,\mathrm {d} t+\sigma _{t}\,\mathrm {d} B_{t}}
avec
μ
t
{\displaystyle {\mathcal {}}\mu _{t}}
σ
t
{\displaystyle {\mathcal {}}\sigma _{t}}
B
t
{\displaystyle B_{t}\ }
mouvement brownien ).
Si
f
(
X
t
,
t
)
{\displaystyle f(X_{t},t)\ }
C
2
(
R
×
R
+
,
R
)
,
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{2}(\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{+},\mathbb {R} ),\ }
formule d'Itô s'écrit
d
(
f
(
X
t
,
t
)
)
=
∂
f
∂
t
(
X
t
,
t
)
d
t
+
∂
f
∂
x
(
X
t
,
t
)
d
X
t
+
1
2
∂
2
f
∂
x
2
(
X
t
,
t
)
σ
t
2
d
t
.
{\displaystyle \mathrm {d} (f(X_{t},t))={\frac {\partial f}{\partial t}}(X_{t},t)\mathrm {d} t+{\frac {\partial f}{\partial x}}(X_{t},t)\mathrm {d} X_{t}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(X_{t},t)\sigma _{t}^{2}\mathrm {d} t.}
Version multidimensionnelle
Soit
(
X
t
)
t
≥
0
=
(
X
t
1
,
…
,
X
t
n
)
t
≥
0
{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}=(X_{t}^{1},\dotsc ,X_{t}^{n})_{t\geq 0}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
f
∈
C
2
(
R
n
,
R
)
{\displaystyle f\in C^{2}(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}
(
f
(
X
t
)
)
t
≥
0
{\displaystyle (f(X_{t}))_{t\geq 0}}
f
(
X
t
)
−
f
(
X
0
)
=
∑
j
=
1
n
∫
0
+
t
∂
f
∂
x
j
(
X
s
−
)
d
X
s
j
+
1
2
∑
j
,
k
=
1
n
∫
0
+
t
∂
2
f
∂
x
j
∂
x
k
(
X
s
−
)
d
[
X
j
,
X
k
]
s
+
∑
0
<
s
≤
t
(
Δ
f
(
X
s
)
−
∑
j
=
1
n
∂
f
∂
x
j
(
X
s
−
)
Δ
X
s
j
−
1
2
∑
k
,
j
=
1
n
∂
2
f
∂
x
j
∂
x
k
(
X
s
−
)
Δ
X
s
j
Δ
X
s
k
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})-f(X_{0})=&\sum _{j=1}^{n}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}(X_{s-}){\rm {d}}X_{s}^{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(X_{s-}){\rm {d}}[X^{j},X^{k}]_{s}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{k,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{j}\Delta X_{s}^{k}\right),\end{aligned}}}
nous avons utilisé la notation
Δ
f
(
X
s
)
:=
f
(
X
s
)
−
f
(
X
s
−
)
{\displaystyle \Delta f(X_{s}):=f(X_{s})-f(X_{s-})}
[ 1]
(
X
t
)
t
≥
0
{\displaystyle (X_{t})_{t\geq 0}}
∑
0
<
s
≤
t
(
⋯
)
{\displaystyle \sum _{0<s\leq t}\left(\cdots \right)}
Hans Föllmer a étendu la formule d'Itô aux fonctions (déterministes) avec une variation quadratique bornée[ 2]
Soit
f
∈
C
2
{\displaystyle f\in C^{2}}
x
:
[
0
,
∞
[
→
R
{\displaystyle x:[0,\infty [\to \mathbb {R} }
càdlàg avec variation quadratique bornée. Alors
f
(
x
t
)
=
f
(
x
0
)
+
∫
0
t
f
′
(
x
s
−
)
d
x
s
+
1
2
∫
]
0
,
t
]
f
″
(
x
s
−
)
d
[
x
,
x
]
s
+
∑
0
≤
s
≤
t
(
f
(
x
s
)
−
f
(
x
s
−
)
−
f
′
(
x
s
−
)
Δ
x
s
−
1
2
f
″
(
x
s
−
)
(
Δ
x
s
)
2
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})&=f(x_{0})+\int _{0}^{t}f'(x_{s-})\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{]0,t]}f''(x_{s-})d[x,x]_{s}\\&+\sum _{0\leq s\leq t}\left(f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\Delta x_{s}-{\frac {1}{2}}f''(x_{s-})(\Delta x_{s})^{2}\right).\end{aligned}}}
Cette formule a été étendue par Cont et Perkowski aux fonctions qui ont une variation finie d'ordre p le long d'une suite de partitions
D
n
{\displaystyle D_{n}}
[ 3]
[
x
]
p
(
t
)
=
lim
n
→
∞
∑
t
k
n
∈
D
n
(
x
t
k
+
1
n
−
x
t
k
n
)
p
{\displaystyle [x]^{p}(t)=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{k}^{n}\in D_{n}}\left(x_{t_{k+1}^{n}}-x_{t_{k}^{n}}\right)^{p}}
Pour une fonction continue avec variation finie d'ordre p, la formule de changement de variable devient[ 3]
f
(
x
t
)
=
f
(
x
0
)
+
∫
0
t
∇
p
−
1
f
(
x
s
−
)
d
x
s
+
1
p
!
∫
]
0
,
t
]
f
p
(
x
s
−
)
d
[
x
]
s
p
{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})={}&f(x_{0})+\int _{0}^{t}\nabla _{p-1}f(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{p!}}\int _{]0,t]}f^{p}(x_{s-})\,d[x]_{s}^{p}\end{aligned}}}
Ici l'intégrale est définie comme une limite de sommes de Riemann compensées[ 4]
∫
0
t
∇
p
−
1
f
(
x
s
−
)
d
x
s
:=
∑
t
k
n
∈
D
n
∑
k
=
1
p
−
1
f
k
(
x
t
k
n
)
k
!
(
x
t
k
+
1
n
−
x
t
k
n
)
k
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{t}\nabla _{p-1}f(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}:={}&\sum _{t_{k}^{n}\in D_{n}}\sum _{k=1}^{p-1}{\frac {f^{k}(x_{t_{k}^{n}})}{k!}}\left(x_{t_{k+1}^{n}}-x_{t_{k}^{n}}\right)^{k}.\end{aligned}}}
Le mouvement brownien géométrique est souvent utilisé en finance comme le plus simple modèle d'évolution de cours de bourse. Il s'agit de la solution de l'équation différentielle stochastique :
d
S
t
=
μ
S
t
d
t
+
σ
S
t
d
B
t
{\displaystyle \mathrm {d} S_{t}=\mu S_{t}\,\mathrm {d} t+\sigma S_{t}\,\mathrm {d} B_{t}\,}
où
S
t
{\displaystyle S_{t}\,}
action sous-jacente ;
μ
{\displaystyle {\mathcal {}}\mu }
taux de dérive (en)
σ
{\displaystyle {\mathcal {}}\sigma }
volatilité du prix de l'action ;
B
t
{\displaystyle B_{t}\,}
mouvement brownien .Si
σ
=
0
,
{\displaystyle \sigma =0\ ,}
équation différentielle ordinaire dont la solution est
S
t
=
S
0
exp
(
μ
t
)
.
{\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left(\mu t\right).}
En posant
f
(
S
t
,
t
)
=
ln
S
t
,
{\displaystyle f(S_{t},t)=\ln S_{t}\ ,}
d
(
ln
S
t
)
=
0
d
t
+
1
S
t
d
S
t
+
1
2
(
−
1
S
t
2
)
(
σ
S
t
)
2
d
t
,
=
1
S
t
(
μ
S
t
d
t
+
σ
S
t
d
B
t
)
−
1
2
σ
2
d
t
,
=
(
μ
−
1
2
σ
2
)
d
t
+
σ
d
B
t
.
{\displaystyle {\begin{aligned}d(\ln S_{t})&=0dt+{\dfrac {1}{S_{t}}}dS_{t}+{\dfrac {1}{2}}\left(-{\dfrac {1}{S_{t}^{2}}}\right)(\sigma S_{t})^{2}dt,\\&={\dfrac {1}{S_{t}}}(\mu S_{t}\,dt+\sigma S_{t}\,dB_{t})-{\dfrac {1}{2}}\sigma ^{2}dt,\\&=\left(\mu -{\dfrac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)dt+\sigma dB_{t}.\end{aligned}}}
On peut alors intégrer et il en découle que :
S
t
=
S
0
exp
[
σ
B
t
+
(
μ
−
1
2
σ
2
)
t
]
.
{\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left[\sigma B_{t}+(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t\right].}
Applications
La formule d'Itô est l'une des pierres angulaires du calcul stochastique et est utilisée dans de très nombreux domaines : mathématiques appliquées , physique , finance , biologie , mécanique quantique , traitement du signal , etc. . Elle permet de faire le lien entre les solutions d'équations différentielles stochastiques (EDS) et des opérateurs différentiels du second ordre, et donc entre la théorie des probabilités et celle des équations aux dérivées partielles . Elle permet également d'affirmer l'existence de solutions d'EDS sous des conditions (très) faibles de régularité sur les coefficients.
↑ Philip E. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations , Springer, 2004 (ISBN 3-540-00313-4 , p. 81-82 ↑ Hans Föllmer, « Calcul d'Ito sans probabilités », Séminaire de probabilités de Strasbourg , vol. 15, 1981 , p. 143-144 (lire en ligne ) ↑ a et b (en) R. Cont et N. Perkowski , « Pathwise integration and change of variable formulas for continuous paths with arbitrary regularity », Transactions of the American Mathematical Society vol. 6, 2019 , p. 161-186 (DOI 10.1090/btran/34 ↑ (en) Rama Cont et Nicolas Perkowski , « Pathwise integration and change of variable formulas for continuous paths with arbitrary regularity », Transactions of the American Mathematical Society, Series B vol. 6, no 5, 10 avril 2019 , p. 161–186 (ISSN 2330-0000 DOI 10.1090/btran/34
Voir aussi
Articles connexes
Bibliographie
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})-f(X_{0})=&\sum _{j=1}^{n}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}(X_{s-}){\rm {d}}X_{s}^{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j,k=1}^{n}\int _{0+}^{t}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(X_{s-}){\rm {d}}[X^{j},X^{k}]_{s}\\&{}+\sum _{0<s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{k,j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{j}\partial x^{k}}}(X_{s-})\Delta X_{s}^{j}\Delta X_{s}^{k}\right),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/899f5dd3060bcaeb5a26c107cc601073ee80a927)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})&=f(x_{0})+\int _{0}^{t}f'(x_{s-})\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{2}}\int _{]0,t]}f''(x_{s-})d[x,x]_{s}\\&+\sum _{0\leq s\leq t}\left(f(x_{s})-f(x_{s-})-f'(x_{s-})\Delta x_{s}-{\frac {1}{2}}f''(x_{s-})(\Delta x_{s})^{2}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99d75a3a34e1d5fcc9b36aad6b1696800219fc7a)
![{\displaystyle [x]^{p}(t)=\lim _{n\to \infty }\sum _{t_{k}^{n}\in D_{n}}\left(x_{t_{k+1}^{n}}-x_{t_{k}^{n}}\right)^{p}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d1dc76481d46bacd4a8355c58aa6f7765bc328)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f(x_{t})={}&f(x_{0})+\int _{0}^{t}\nabla _{p-1}f(x_{s-})\,\mathrm {d} x_{s}+{\frac {1}{p!}}\int _{]0,t]}f^{p}(x_{s-})\,d[x]_{s}^{p}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a24511b22fc00ea71f3d933bf8aa47e23f229f)
![{\displaystyle S_{t}=S_{0}\exp \left[\sigma B_{t}+(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/970d710bbae8eabd43471c34e918ce783762d1f7)
