Intégrale de Stieltjes

Thomas Stieltjes (1856-1894).

L'intégrale de Stieltjes constitue une généralisation de l'intégrale ordinaire, ou intégrale de Riemann. En effet, considérons deux fonctions réelles bornées f et g définies sur un intervalle fermé [a, b], ainsi qu'une subdivision a = x₀ < x₁ < x₂ < ... < x_n = b de cet intervalle. Si la somme de Riemann

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )},}$

avec ξ_i ∈ [x_i–1, x_i], tend vers une limite S lorsque le pas max(x_i – x_{i – 1}) tend vers 0[1], alors S est appelée l'intégrale de Stieltjes (ou parfois l'intégrale de Riemann-Stieltjes[2]) de la fonction f par rapport à g. On la note

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g(x)}$

ou simplement ∫^b
_a f dg.

Propriétés

Si les fonctions f et g possèdent un point de discontinuité en commun, alors l'intégrale n'existe pas.

Cependant, si f est continue et g à variation bornée, cette intégrale est bien définie[3],[4]. Elle l'est également si f est seulement Riemann-intégrable mais g est absolument continue, et elle coïncide alors avec l'intégrale de fg' au sens de Lebesgue[5] (ou de Riemann si de plus g' est Riemann-intégrable) :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} g\,\!(x)=\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\,\mathrm {d} x.}$

De plus, dans ces conditions suffisantes d'existence, f et g sont interchangeables. En effet :

Théorème d'intégration par parties[6] — Si l'une des deux intégrales de Stieltjes ${\displaystyle \int _{a}^{b}f\,\mathrm {d} g}$ ou ${\displaystyle \int _{a}^{b}g\,\mathrm {d} f}$ existe alors l'autre aussi, et leur somme est égale à ${\displaystyle \left[fg\right]_{a}^{b}:=f(b)g(b)-f(a)g(a).}$

Démonstration

Supposons par exemple que la seconde existe. En ajoutant à la « subdivision marquée » ci-dessus les points ${\displaystyle \xi _{n+1}=b}$ et ${\displaystyle \xi _{0}=a}$, on trouve : ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )}=f(b)g(b)-f(a)g(a)+\sum _{i=0}^{n}{\bigl (}f(\xi _{i})-f(\xi _{i+1}){\bigr )}g(x_{i}).}$ On conclut en utilisant que max(ξ_j – ξ_{j – 1}) ≤ 2 max(x_i – x_{i – 1}).

Formules de la moyenne[7] — Si f est continue sur [a, b] et si g est monotone, il existe un réel c de [a, b] tel que

• Première formule :

${\displaystyle \int _{a}^{b}f~\mathrm {d} g=f(c){\bigl (}g(b)-g(a){\bigr )}.}$

• Deuxième formule :

${\displaystyle \int _{a}^{b}g~\mathrm {d} f=g(a)\int _{a}^{c}\mathrm {d} f+g(b)\int _{c}^{b}\mathrm {d} f.}$

La première formule se démontre comme dans le cas où g est continûment dérivable. La deuxième s'en déduit grâce au théorème d'intégration par parties. Un corollaire de cette deuxième formule est : si h est intégrable sur [a, b] et si g est monotone, il existe un c ∈ [a, b] tel que

${\displaystyle \int _{a}^{b}g(x)h(x)~\mathrm {d} x=g(a)\int _{a}^{c}h(x)~\mathrm {d} x+g(b)\int _{c}^{b}h(x)\mathrm {d} x.}$

Si g est non seulement monotone mais décroissante positive, on peut la rendre nulle en b avant de lui appliquer ce corollaire (cela ne change pas la valeur de ∫^b
_a g(x)h(x) dx).

Notes et références

1. (en) Tom M. Apostol, Mathematical Analysis, Pearson, 1974, 2^e éd., p. 141-142 (Def. 7.1 et Note), donne une autre définition : pour tout réel ε > 0, il existe une subdivision P_ε de [a, b] telle que pour tout raffinement P = (x_i) de P_ε et tout marquage (ξ_i) de P, ${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}f(\xi _{i}){\bigl (}g(x_{i})-g(x_{i-1}){\bigr )}-S\right|\leq \varepsilon }$, et souligne qu'elle n'est pas équivalente à celle donnée ici. Son contre-exemple (p. 174, exercice 7.3.b) est f = χ_{]c, b]}, g = χ_{[c, b]}.
2. (en) Einar Hille et Ralph S. Phillips, Functional Analysis and Semi-groups, vol. 1, AMS, 1996 (1^re éd. 1957) (lire en ligne), p. 62.
3. (en) Jie Xiao, Integral and Functional Analysis, Nova Science Publishers, 2008, 287 p. (ISBN 978-1-60021-784-5, lire en ligne), p. 54.
4. (en) Hugh L. Montgomery et R. C. Vaughan, Multiplicative Number Theory I : Classical Theory, Cambridge (GB), CUP, 2007, 552 p. (ISBN 978-0-521-84903-6, lire en ligne), « Appendix A: The Riemann–Stieltjes integral », p. 486.
5. (en) Norman B. Haaser et Joseph A. Sullivan, Real Analysis, Dover, 1991 (présentation en ligne), p. 255.
6. Hille et Phillips 1996, p. 63.
7. Xiao 2008, p. 60.

Voir aussi

Articles connexes

• Intégrale de Lebesgue
• Intégration de Lebesgue-Stieltjes
• Intégrale de Kurzweil-Henstock
• Intégrale d'Itō
• Formule sommatoire d'Abel

Bibliographie

• (en) H. Jeffreys et B. S. Jeffreys, Methods of Mathematical Physics, CUP, 1988, 3^e éd., 718 p. (ISBN 978-0-521-66402-8, lire en ligne), chap. 1, §10 (« Integration: Riemann, Stieltjes »), p. 26-36
• (en) H. Kestelman, Modern Theories of Integration, New York, Dover Publications, 1960, chap. 11 (« Riemann-Stieltjes Integration »), p. 247-269