Indiscernabilité topologique

Soit X un espace topologique et x et y des éléments de X.

On dit que x et y sont (topologiquement) indiscernables si tout voisinage de x contient y et si tout voisinage de y contient x.

À l'inverse, on dit que x et y sont (topologiquement) discernables s'ils ne sont pas indiscernables. Plus précisément, s'il existe un voisinage de x qui ne contient pas y ou s'il existe un voisinage de y qui ne contient pas x.

Il est évident que deux éléments discernables doivent être distincts (car x appartient à tout voisinage de x). Réciproquement, si tous x et y distincts sont discernables, X est dit T₀.

La relation « sont indiscernables » est une relation d'équivalence.

Propriétés

Relation d'équivalence

Notons ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ la relation binaire « sont indiscernables ». En notant ${\displaystyle \preceq }$ le préordre de spécialisation, on voit alors facilement que l'on a :

${\displaystyle \forall x,y\in X,\quad x{\mathcal {R}}y\Leftrightarrow (x\preceq y)\wedge (y\preceq x)}$

Ainsi nous rendons-nous compte que ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ est une relation d'équivalence : celle naturellement associée au préordre.

Caractérisations

Soit ${\displaystyle x,y\in X}$.

Les assertions suivantes sont équivalentes :

• ${\displaystyle x}$ et ${\displaystyle y}$ sont indiscernables ;
• ${\displaystyle \forall \,V_{x}\in {\mathcal {V}}(x),\forall \,V_{y}\in {\mathcal {V}}(y),\;(y\in V_{x})\wedge (x\in V_{y})}$ ;
• ${\displaystyle (x\preceq y)\wedge (y\preceq x)}$ ;
• ${\displaystyle {\overline {\{x\}}}={\overline {\{y\}}}}$.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Topological_indistinguishability » (voir la liste des auteurs).

Voir aussi

Articles connexes

• Axiomes de séparation (topologie)
• Espaces T₀