En mathématiques , les inégalités de Maclaurin inégalité arithmético-géométrique .
Elles sont parfois dénommées aussi "inégalités de Newton", dont elles sont une conséquence[ 1]
Soient a 1 , a 2 , … , an nombres réels strictement positifs et, pour k = 1, 2, … , n moyennes Sk définies par
S
k
=
∑
1
⩽
i
1
<
⋯
<
i
k
⩽
n
a
i
1
a
i
2
⋯
a
i
k
(
n
k
)
⋅
{\displaystyle S_{k}={\frac {\displaystyle \sum _{1\leqslant i_{1}<\cdots <i_{k}\leqslant n}a_{i_{1}}a_{i_{2}}\cdots a_{i_{k}}}{\displaystyle {n \choose k}}}\cdot }
Le numérateur de ce quotient est la fonction symétrique élémentaire de degré
k
{\displaystyle k}
n
{\displaystyle n}
variables a 1 , a 2 , … , an
k
{\displaystyle k}
coefficient binomial au dénominateur est donc le nombre de termes du numérateur.
Alors,
S
1
⩾
S
2
⩾
S
3
3
⩾
⋯
⩾
S
n
n
,
{\displaystyle S_{1}\geqslant {\sqrt {S_{2}}}\geqslant {\sqrt[{3}]{S_{3}}}\geqslant \cdots \geqslant {\sqrt[{n}]{S_{n}}},}
et ces inégalités sont strictes, sauf si tous les ai sont égaux.
Exemples
L'inégalité
S
1
⩾
S
n
n
{\displaystyle S_{1}\geqslant {\sqrt[{n}]{S_{n}}}}
moyenne arithmétique et la moyenne géométrique des
n
{\displaystyle n}
Pour
n
=
4
{\displaystyle n=4}
a , b , c , d > 0
a
+
b
+
c
+
d
4
⩾
a
b
+
a
c
+
a
d
+
b
c
+
b
d
+
c
d
6
⩾
a
b
c
+
a
b
d
+
a
c
d
+
b
c
d
4
3
⩾
a
b
c
d
4
.
{\displaystyle {\frac {a+b+c+d}{4}}\geqslant {\sqrt {\frac {ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}}\geqslant {\sqrt[{3}]{\frac {abc+abd+acd+bcd}{4}}}\geqslant {\sqrt[{4}]{abcd}}.}
Les inégalités de Maclaurin peuvent se déduire des inégalités de Newton , qui sont (en posant S 0 = 1)
∀
k
=
1
,
…
,
n
−
1
S
k
2
⩾
S
k
−
1
S
k
+
1
.
{\displaystyle \forall k=1,\ldots ,n-1\quad S_{k}^{2}\geqslant S_{k-1}S_{k+1}.}
En effet,
S
1
2
S
2
4
S
3
6
…
S
k
2
k
⩾
(
S
0
S
2
)
(
S
1
S
3
)
2
(
S
2
S
4
)
3
…
(
S
k
−
1
S
k
+
1
)
k
{\displaystyle S_{1}^{2}S_{2}^{4}S_{3}^{6}\ldots S_{k}^{2k}\geqslant (S_{0}S_{2})(S_{1}S_{3})^{2}(S_{2}S_{4})^{3}\ldots (S_{k-1}S_{k+1})^{k}}
S
k
k
+
1
⩾
S
k
+
1
k
,
{\displaystyle S_{k}^{k+1}\geqslant S_{k+1}^{k},}
S
k
1
/
k
⩾
S
k
+
1
1
/
(
k
+
1
)
.
{\displaystyle S_{k}^{1/k}\geqslant S_{k+1}^{1/(k+1)}.}
↑ Mohammed Aassila, 100 chalenges mathématiques, Analyse , Ellipses, 2016 , p. 294-296 (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Maclaurin's inequality » (voir la liste des auteurs ) .(en) Piotr Biler et Alfred Witkowski , Problems in Mathematical Analysis , New York/Basel, CRC Press , 1990 , 227 p. (ISBN 0-8247-8312-3 lire en ligne ) , p. 5(en) Colin Mac Laurin , « A second letter from Mr. Colin Mc Laurin, […] to Martin Folks, Esq. ; concerning the roots of equations, with the demonstration of other rules in algebra […] », Phil. Trans. vol. 36, nos 407-416, 1729 , p. 59-96 (DOI 10.1098/rstl.1729.0011
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