Inégalité de Lubell-Yamamoto-Meshalkin

En mathématiques, l'inégalité de Lubell-Yamamoto-Meshalkin, ou inégalité LYM, est une inégalité combinatoire sur les tailles des ensembles d'une famille de Sperner, démontrée par Bollobás[1], Lubell[2], Meshalkin[3] et Yamamoto[4].

Elle a beaucoup d'applications en combinatoire ; en particulier, elle peut être utilisée pour démontrer le lemme de Sperner. Ce terme est aussi utilisé pour désigner des inégalités similaires[5].

Énoncé

Soient U un ensemble à n éléments, A une famille de parties de U dont aucune n'est incluse dans une autre, et a_k le nombre de parties de taille k dans la famille A. Alors,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {a_{k}}{n \choose k}}\leq 1.}$

Démonstration de Lubell

Lubell (en 1966) démontre cette inégalité LYM par un argument de double dénombrement, dans lequel il dénombre les permutations de U = {1, … n} de deux façons. D'abord, par dénombrement direct, il y en a n!. Mais d'autre part, on peut choisir un membre S de la famille A et une bijection s : {1, … , |S|} → S, puis compléter s en une permutation de U. Si |S| = k, on lui associe ainsi k!(n – k)! permutations. Chaque permutation est associée à au plus un membre S de A. En effet par l'absurde, si s est une permutation associée à deux membres, S et T de A pris tels que |S|≤|T|, alors l'image de {1, … , |S|} par s est S, et est incluse dans T. Par conséquent, le nombre des permutations engendrées par cette construction est

${\displaystyle \sum _{S\in A}|S|!(n-|S|)!=\sum _{k=0}^{n}a_{k}k!(n-k)!.}$

Comme ce nombre est au plus égal au nombre total de permutations,

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}k!(n-k)!\leq n!,}$

ce qui conclut.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lubell–Yamamoto–Meshalkin inequality » (voir la liste des auteurs).

1. (en) B. Bollobás, « On generalized graphs », Acta Math. Hungar., vol. 16, n^os 3-4,‎ 1965, p. 447-452 (DOI 10.1007/BF01904851)
2. (en) D. Lubell, « A short proof of Sperner's lemma », JCT, vol. 1, n^o 2,‎ 1966, p. 299 (DOI 10.1016/S0021-9800(66)80035-2)
3. (en) L. D. Meshalkin, « Generalization of Sperner's theorem on the number of subsets of a finite set », Th. Prob. Appl., vol. 8, n^o 2,‎ 1963, p. 203-204 (DOI 10.1137/1108023)
4. (en) Koichi Yamamoto, « Logarithmic order of free distributive lattice », J. Math. Soc. Japan, vol. 6,‎ 1954, p. 343-353 (lire en ligne)
5. (en) M. Beck, X. Wang et T. Zaslavsky, « A Unifying Generalization of Sperner's Theorem », dans E. Gyari, G. O. H. Katona et L. Lovász, More Sets, Graphs and Numbers: A Salute to Vera Sós and András Hajnal, Springer, coll. « Bolyai Society Mathematical Studies » (n^o 15), 2006, p. 9-24, arXiv:math/0112067