Groupe de lacets

En mathématiques, un groupe de lacets (loop group en anglais) est un groupe composé de lacets dans un groupe topologique G.

Définition

Dans sa forme la plus générale, un groupe de lacets est un groupe d'applications continues d'une variété M dans un groupe topologique G.

Plus précisément[1], soit M = S^1, le cercle dans le plan complexe, et soit LG désignant l'espace des applications continues S^1 → G, c'est-à-dire

${\displaystyle LG=\left\{\gamma :S^{1}\to G|\gamma \in C\left(S^{1},G\right)\right\},}$

muni de la topologie compacte-ouverte. Un élément de LG est un lacet de G. La multiplication point par point de lacets donne à LG la structure d'un groupe topologique.

L'espace LG est appelé groupe libre de lacets sur G. Un groupe de boucles désigne n'importe quel sous-groupe du groupe libre LG.

Exemples

Un exemple important de groupe de lacets est le groupe ΩG des lacets pointés sur G. Par définition, c'est le noyau du morphisme ${\displaystyle e_{1}:LG\to G,\gamma \mapsto \gamma (1)}$ , et est donc un sous-groupe distingué fermé de LG. (Ici, e₁ est le morphisme qui envoie à un lacet sa valeur à ${\displaystyle 1\in S^{1}}$.) Notez que nous pouvons plonger G dans LG en tant que sous-groupe des lacets constantes. Par conséquent, nous obtenons une suite exacte courte : $${\displaystyle 1\to \Omega G\to LG\to G\to 1.}$$Des groupes de boucles ont été utilisés pour expliquer le phénomène des transformations de Bäcklund dans les équations du soliton par Chuu-Lian Terng et Karen Uhlenbeck[2].

Notes

1. Bäuerle et de Kerf 1997
2. (en) Geometry of Solitons par Chuu-Lian Terng et Karen Uhlenbeck

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Loop group » (voir la liste des auteurs).

• G.G.A Bäuerle et E.A. de Kerf, Finite and infinite dimensional Lie algebras and their application in physics, vol. 7, North-Holland, coll. « Studies in mathematical physics », 1997 (ISBN 978-0-444-82836-1, lire en ligne )
• Andrew Pressley et Graeme Segal, Loop groups, New York, Oxford University Press, coll. « Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications », 1986 (ISBN 978-0-19-853535-5, MR 0900587, lire en ligne)

Articles connexes

• Espace de boucle
• Quasigroupe