Formule de la co-aire

La formule de la co-aire est un théorème de théorie géométrique de la mesure qui exprime l'intégrale du jacobien d'une fonction sur ℝ^n comme l'intégrale de la mesure de Hausdorff de ses ensembles de niveau. Elle généralise le théorème de Fubini. Elle joue un rôle décisif dans l'approche moderne des problèmes isopérimétriques.

Pour les fonctions lisses, la formule est un résultat d'analyse à plusieurs variables qui résulte d'un simple changement de variable. Elle a été généralisée aux fonctions lipschitziennes par Herbert Federer[1] puis aux fonctions à variation bornée par Fleming et Rishel[2].

Énoncé

Soit u une fonction de ℝ^n dans ℝ, lipschitzienne donc dérivable presque partout. Alors,

pour toute partie mesurable A de ℝ^n,${\displaystyle \int _{A}\|\nabla u(x)\|~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }H^{n-1}(A\cap u^{-1}(t))~\mathrm {d} t}$

où ║∇u║ est la norme euclidienne du gradient de u et H ^n – 1 est la mesure de Hausdorff de dimension n – 1

ou, ce qui est équivalent :

pour toute fonction mesurable g de ℝ^n dans [0, +∞],

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)\|\nabla u(x)\|~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} }\left(\int _{u^{-1}(t)}g(x)~dH^{n-1}(x)\right)~\mathrm {d} t.}$

Généralisation

Soit u une fonction lipschitzienne de ℝ^n dans ℝ^k avec k ≤ n. Alors,

pour toute partie mesurable A de ℝ^n,${\displaystyle \int _{A}J_{k}u(x)~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{k}}H^{n-k}(A\cap u^{-1}(t))~\mathrm {d} t}$

où J_ku est le jacobien k-dimensionnel de u : ${\displaystyle J_{k}u(x)={\sqrt {\det \left(J_{u}(x)^{\operatorname {t} }\!J_{u}(x)\right)}}.}$ ou, ce qui est équivalent :

pour toute fonction mesurable g de ℝ^n dans [0, +∞],${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)J_{k}u(x)~\mathrm {d} x=\int _{\mathbb {R} ^{k}}\left(\int _{u^{-1}(t)}g(x)~\mathrm {d} H^{n-k}(x)\right)~\mathrm {d} t.}$

Remarques

• Dans la première de ces deux formules, le fait préalable (implicite ici) que pour presque tout t dans ℝ^k, la dimension de Hausdorff de l'ensemble A ∩ u^−1(t) vaut n – k, peut s'interpréter comme une généralisation du théorème de Sard.
• Dans la seconde on retrouve, pour u égal à la projection sur les k premières coordonnées, le théorème classique de Fubini-Tonelli sur ℝ^k × ℝ^n – k.
• Ce théorème se généralise encore[1], en une formule de la co-aire pour les variétés (en), en prenant u lipschitzienne, d'une variété riemannienne de classe C^1, de dimension n, dans une autre, de dimension k ≤ n.
• La « formule de l'aire[3] », plus classique, concerne le cas k ≥ n et le jacobien n-dimensionnel,${\displaystyle J_{n}u(x)={\sqrt {\det \left(^{\operatorname {t} }\!J_{u}(x)J_{u}(x)\right)}}.}$

Applications

• En prenant u(x) = ║x║, on retrouve, pour une fonction intégrable f, la formule d'intégration en coordonnées sphériques :${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)~\mathrm {d} x=\int _{0}^{\infty }\left(\int _{S(0,r)}f~\mathrm {d} S\right)~\mathrm {d} r.}$
• En combinant la formule de la co-aire avec l'inégalité isopérimétrique[4] nω_n^1/nλ_n(A)^(n – 1)/n ≤ M_{n – 1}(∂A), où ω_n est le volume de la boule unité de ℝ^n, on démontre l'inégalité de Sobolev pour u ∈ W^1,1 avec constante optimale :${\displaystyle \left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}|u|^{n/(n-1)}\right)^{\frac {n-1}{n}}\leq n^{-1}\omega _{n}^{-1/n}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\|\nabla u\|.}$

Notes et références

1. (en) H. Federer, « Curvature measures », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 93, n^o 3,‎ 1959, p. 418-491 (lire en ligne)
2. (en) Wendel H. Fleming et Raymond Rishel, « An integral formula for the total gradient variation », Archiv Math., vol. 11, n^o 1,‎ 1960, p. 218-222 (lire en ligne)
3. (en) Mariano Giaquinta et Giuseppe Modica, Mathematical Analysis : An Introduction to Functions of Several Variables, Springer, 2009, 348 p. (ISBN 978-0-8176-4509-0, lire en ligne), p. 117-118
4. (en) Herbert Federer, Geometric Measure Theory, Springer, coll. « Grundlehren math. Wiss. » (n^o 153), 1969, xiv+676 (ISBN 978-3-540-60656-7), § 3.2.43

• (en) Jan Malý, David Swanson et William P. Ziemer, « The co-area formula for Sobolev mappings », Trans. Amer. Math. Soc., vol. 355, n^o 2,‎ 2002, p. 477-492 (lire en ligne)

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Coarea formula » (voir la liste des auteurs).

Article connexe

• Théorème de Brothers-Ziemer (it)