Formule de haversine

La formule de haversine permet de déterminer la distance du grand cercle entre deux points d'une sphère, à partir de leurs longitudes et latitudes. Largement utilisée dans la navigation, c'est un cas particulier d'une formule plus générale de la trigonométrie sphérique, la loi des haversines, qui associe les côtés et les angles des triangles sphériques.

La table de haversines remonte au début du XIX^e siècle, avec une publication par James Andrew en 1805[1], même si Florian Cajori cite son utilisation par José Mendoza y Ríos en 1801[2],[3]. Le terme haversine a été inventé en 1835 par James Inman[4],[5].

Le nom haversine renvoie à la fonction haversine, dérivée du sinus verse donnée par haversin(θ) = sin^2(θ/2). Avant l'avènement des ordinateurs, l'élimination du facteur 2 rendait plus utile les tables de haversine que de sinus verse. Des tables de logarithmes rendaient utilisables pour la navigation ces formules au XIX^e siècle et au début du XX^e siècle[6],[7],[8]. De nos jours, le haversine est encore utilisé en raison de l'absence d'un coefficient 2 devant la fonction  sin^2

La formule de haversine

En prenant deux points sur une sphère, le haversine de l'angle au centre est donné par 

${\displaystyle \operatorname {hav} \left({\frac {d}{r}}\right)=\operatorname {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}$

où on a :

• hav est la fonction haversine :
• d est la distance du grand cercle entre les deux points
• r est le rayon de la sphère,
• φ₁, φ₂: latitude du point 1 et latitude du point 2, en radians
• λ₁, λ₂: longitude du point 1 et longitude du point 2, en radians

Sur le membre de gauche,  d/r est l'angle au centre, en supposant que les angles sont mesurés en radians (on convertit φ et λ des radians aux degrés par un rapport 180/π).

On cherche à obtenir d, on applique donc la fonction haversine inverse, ou utiliser l'arcsinus si on ne dispose pas de tables de calcul ou d'outil informatique

${\displaystyle d=r\operatorname {hav} ^{-1}(h)=2r\arcsin \left({\sqrt {h}}\right)}$

où h vaut hav(d/r), ou plus explicitement:

${\displaystyle d=2r\arcsin \left({\sqrt {\operatorname {hav} (\varphi _{2}-\varphi _{1})+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\operatorname {hav} (\lambda _{2}-\lambda _{1})}}\right)}$

${\displaystyle =2r\arcsin \left({\sqrt {\sin ^{2}\left({\frac {\varphi _{2}-\varphi _{1}}{2}}\right)+\cos(\varphi _{1})\cos(\varphi _{2})\sin ^{2}\left({\frac {\lambda _{2}-\lambda _{1}}{2}}\right)}}\right)}$

Lors de l'utilisation de ces formules, on doit s'assurer que la valeur de h ne dépasse pas 1 en raison d'une erreur de  virgule flottante (d est un nombre réel pour des valeurs de h entre 0 et 1). h se rapproche de 1 uniquement pour des points aux antipodes de la sphère, où les erreurs numériques commencent à être fort importantes. Étant données les dimensions de d, proches de πR, soit la moitié de la circonférence de la sphère, une petite erreur est souvent négligeable.

La loi des haversines

Un triangle sphérique triangle résolu par la loi des haversines.

Donné une sphère unité, un « triangle » sur la surface de la sphère est défini par l'intersection de grands cercles en trois points u, v, et w sur la sphère. Si les longueurs des trois côtés a (de u à v), b (à partir de u à w), et c (de v à w), et si on pose que l'angle en face du côté c est C, alors la loi des haversines donne :

${\displaystyle \operatorname {hav} (c)=\operatorname {hav} (a-b)+\sin(a)\sin(b)\,\operatorname {hav} (C).}$

Puisque c'est une sphère unité, les longueurs a, b, et c sont égales aux angles (en radians) délimités par ces côtés à partir du centre de la sphère (si la sphère n'est pas une sphère unité, ces longueurs d'arcs sont égales à leur angle au centre multiplié par le rayon de la sphère).

Afin d'obtenir la formule de haversine de la section précédente, on considère le cas où u est le pôle nord, et où on cherche à déterminer la distance d entre les deux points v et w. Dans ce cas, a et b sont π/2 − φ_1,2 (c'est-à-dire à 90° de latitude), C est la longitude de la séparation Δλ, et c est le d/R recherché. En remarquant que sin(π/2 − φ) = cos(φ), la formule de haversine suit.

Pour dériver la loi des haversines, on commence par la loi sphérique des cosinus :

${\displaystyle \cos(c)=\cos(a)\cos(b)+\sin(a)\sin(b)\cos(C).\,}$

Comme mentionné au-dessus, cette formule permet de trouver c avec approximation lorsque c est petit. À la place, on substitue le cosinus cos(θ) = 1 − 2 hav(θ), et on utilise l'identité trigonométrique : cos(a − b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b), pour obtenir la loi de haversines au-dessus.

Références

1. (en) Glen van Brummelen, Heavenly mathematics : the forgotten art of spherical trigonometry, Princeton, Princeton University Press, 2013, 192 p. (ISBN 978-0-691-14892-2, lire en ligne)
2. Joseph de Mendoza y Ríos, Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares : y aplicacion de su teórica á la solucion de otros problemas de navegacion, Madrid, Imprenta Real, 1795 (lire en ligne)
3. Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, vol. 2, Chicago, USA, 2 (3rd corrected printing of 1929 issue), 1952 (1^re éd. 1929) (ISBN 978-1-60206-714-1, lire en ligne), p. 172 :

   « The haversine first appears in the tables of logarithmic versines of José de Mendoza y Rios (Madrid, 1801, also 1805, 1809), and later in a treatise on navigation of James Inman (1821). »

   (NB. ISBN and link for reprint of 2nd edition by Cosimo, Inc., New York, USA, 2013.)
4. James Inman, Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen, London, UK, W. Woodward, C. & J. Rivington, 1835 (1^re éd. 1821) (lire en ligne) (Fourth edition: [1].)
5. Modèle:OED2
6. H. B. Goodwin, The haversine in nautical astronomy, Naval Institute Proceedings, vol. 36, no. 3 (1910), pp. 735–746: Evidently if a Table of Haversines is employed we shall be saved in the first instance the trouble of dividing the sum of the logarithms by two, and in the second place of multiplying the angle taken from the tables by the same number. This is the special advantage of the form of table first introduced by Professor Inman, of the Portsmouth Royal Navy College, nearly a century ago.
7. W. W. Sheppard and C. C. Soule, Practical navigation (World Technical Institute: Jersey City, 1922).
8. E. R. Hedrick, Logarithmic and Trigonometric Tables (Macmillan, New York, 1913).