En statistique , la fonction Q de Marcum
Q
M
{\displaystyle Q_{M}}
Q
M
(
a
,
b
)
=
∫
b
∞
x
(
x
a
)
M
−
1
exp
(
−
x
2
+
a
2
2
)
I
M
−
1
(
a
x
)
d
x
{\displaystyle Q_{M}(a,b)=\int _{b}^{\infty }x\left({\frac {x}{a}}\right)^{M-1}\exp \left(-{\frac {x^{2}+a^{2}}{2}}\right)I_{M-1}(ax)\,dx}
ou comme
Q
M
(
a
,
b
)
=
exp
(
−
a
2
+
b
2
2
)
∑
k
=
1
−
M
∞
(
a
b
)
k
I
k
(
a
b
)
{\displaystyle Q_{M}(a,b)=\exp \left(-{\frac {a^{2}+b^{2}}{2}}\right)\sum _{k=1-M}^{\infty }\left({\frac {a}{b}}\right)^{k}I_{k}(ab)}
où
I
M
−
1
{\displaystyle I_{M-1}}
fonction de Bessel modifiée d'ordre M − 1. La fonction Q de Marcum est utilisée par exemple comme fonction de répartition (plus précisément, comme fonction de survie ) pour les lois du χ non centré , de χ2 non centré et de Rice .
Pour les valeurs non entières de M , la fonction Q de Marcum peut être définie comme [ 1]
Q
M
(
a
,
b
)
=
1
−
e
−
a
2
/
2
∑
k
=
0
∞
(
a
2
2
)
k
γ
(
M
+
k
,
b
2
2
)
k
!
Γ
(
M
+
k
)
=
1
−
e
−
a
2
/
2
∑
k
=
0
∞
(
a
2
2
)
k
P
(
M
+
k
,
b
2
2
)
k
!
{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{M}(a,b)&=1-{\rm {e}}^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {\gamma (M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!\Gamma (M+k)}}\\[6pt]&=1-{\rm {e}}^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {P(M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!}}\end{aligned}}}
où
P
(
s
,
x
)
{\displaystyle P(s,x)}
fonction gamma incomplète .
La fonction Q de Marcum est monotone et log-concave[ 2]
Marcum, J. I. (1950) "Table of Q Functions". U.S. Air Force RAND Research Memorandum M-339 . Santa Monica, CA: Rand Corporation, Jan. 1, 1950.
Nuttall, Albert H. (1975): Some Integrals Involving the QM Function IEEE Transactions on Information Theory , 21(1), 95–96, (ISSN 0018-9448
(en) Eric W. Weisstein , « Marcum Q-Function MathWorld
↑ (en) A. Annamalai, C. Tellambura et John Matyjas, « A New Twist on the Generalized Marcum Q-Function QM (a , b ) with Fractional-Order M and Its Applications », 2009 6th IEEE Consumer Communications and Networking Conference 2009 , p. 1–5 (ISBN 978-1-4244-2308-8 ↑ (en) Árpád Baricz Yin Sun et Shidong Zhou, « On the Monotonicity, Log-Concavity, and Tight Bounds of the Generalized Marcum and Nuttall Q-Functions », IEEE Transactions on Information Theory vol. 56, no 3, 2010 , p. 1166–1186 (ISSN 0018-9448 
![{\displaystyle {\begin{aligned}Q_{M}(a,b)&=1-{\rm {e}}^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {\gamma (M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!\Gamma (M+k)}}\\[6pt]&=1-{\rm {e}}^{-a^{2}/2}\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {a^{2}}{2}}\right)^{k}{\frac {P(M+k,{\frac {b^{2}}{2}})}{k!}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d71cf044d48f3654473d49a5e9633b6d6b1267c6)
