Après avoir été ordonné prêtre le , il a exercé son ministère sacerdotal d'abord comme vicaire à Zhovkva et Ternopil. Pendant la Première Guerre mondiale, il a servi dans l'armée autrichienne comme aumônier. Pendant l'exercice de ces fonctions, se trouvant parmi les soldats malades, il contracte la fièvre typhoïde. Démobilisé à la fin de la guerre, il devient administrateur paroissial à Ternopil. En 1919, il est préfet puis en 1924, vice-recteur du séminaire de Lviv. Il devient en 1931 curé de la paroisse de Stanisławowie et doyen du doyenné Stanislawow. Dans la même année, il est élevé à la dignité de chanoine du chapitre métropolitain de Lviv, et un an plus tard prélat.
À la demande de Twardowski, le pape Pie XII le nomme archevêque coadjuteur de l'archidiocèse de Lviv et archevêque titulaire de Parium(de) le . Bolesław Twardowski(en) meurt le et Eugeniusz Baziak devient alors archevêque de Lviv.
En 1945, il est convoqué par les autorités soviétiques où il subit toute une nuit d'interrogation. Interné puis expulsé vers la Pologne en , il gagne Komotini, situé dans la partie polonaise de l'archidiocèse de Lviv.
À l'initiative du cardinal Adam Stefan Sapieha, il est nommé le évêque coadjuteur de l'archidiocèse de Cracovie par Pie XII. Mais à la mort du cardinal Sapieha le suivant, les autorités polonaises refusent d'avaliser sa nomination comme archevêque et il est nommé administrateur apostolique de Cracovie tout en restant officiellement archevêque de Lviv.
Le , il consacre évêque auxiliaire de Cracovie l'abbé Karol Wojtyla qui deviendra plus tard le pape Jean-Paul II.
Il est mort d'une crise cardiaque le à Varsovie et a été enterré dans la crypte sous la chapelle Zebrzydowski dans la cathédrale de Wawel.