À tout complexe simplicial abstrait (V, Σ) est associé naturellement l'ensemble simplicial X dont les n-simplexes sont les applications g de {0, … , n} dans V dont l'image appartient à Σ, avec X(f)(g) = g ∘ f.
Homologie
Soit K un anneau commutatif. À tout ensemble E est associé un K-module libreK[E] de base E donc par fonctorialité, à tout ensemble simplicial X est associé un K-modulesimplicialM = K[X][1] : pour tout entier n, le module Mnest le K-module libre K[Xn] et (en notant[2] [n] l'ensemble totalement ordonné {0, 1, … , n}) pour toute application croissante f : [m] → [n], l'application linéaireM(f) : Mn→ Mm est l'application K[X(f)] : K[Xn] → K[Xm] induite par X(f) : Xn→ Xm.
Par ailleurs, à tout module simplicial M on associe naturellement un complexe de chaînes en posant, pour tout n :
où δin: [n – 1] → [n] désigne la iecoface, c'est-à-dire l'injection croissante de [n – 1] dans [n] dont l'image ne contient pas i.
L'homologie simpliciale (à coefficients dans K) de l'ensemble simplicial X est par définition[1] l'homologie du complexe de chaînes associé au module simplicial K[X].