Critère de Nagumo

Dans le cadre des équations différentielles, le critère de Nagumo est un critère suffisant d'unicité locale d'une solution à un problème de Cauchy. Joint au théorème d'existence locale de Cauchy-Peano-Arzelà, il assure donc la même conclusion que le théorème de Cauchy-Lipschitz, sous des hypothèses différentes.

Énoncé

Soit f une fonction continue à valeurs dans un espace vectoriel normé E, définie sur un cylindre fermé S = [t₀ – c, t₀ + c] × B(u₀, r) de ℝ × E.

Si f vérifie sur S la condition

${\displaystyle |t-t_{0}|~\|f(t,u)-f(t,v)\|\leq \|u-v\|,}$

alors deux solutions quelconques du problème de Cauchy

${\displaystyle u'=f(t,u),\,\,\,u(t_{0})=u_{0}}$

coïncident sur tout sous-intervalle de [t₀ – c, t₀ + c] où elles sont définies toutes deux.

Démonstration

Soient u et v deux solutions du problème de Cauchy, définies par exemple sur un intervalle [t₀, t₁] avec t₁ > t₀, montrons[1] que u = v.

La fonction g définie sur cet intervalle par

${\displaystyle g(t)=\|u(t)-v(t)\|=\left\|\int _{t_{0}}^{t}f(s,u(s))-f(s,v(s))\mathrm {d} s\right\|}$

est nulle en t₀, mais aussi de dérivée (à droite) nulle en t₀, puisque quand t → t₀^+,

${\displaystyle {g(t) \over t-t_{0}}=\left\|{u(t)-u_{0} \over t-t_{0}}-{v(t)-u_{0} \over t-t_{0}}\right\|\longrightarrow \|u'(t_{0})-v'(t_{0})\|=\|f(t_{0},u(t_{0}))-f(t_{0},v(t_{0}))\|=0.}$

Ces deux propriétés de g permettent de définir sur [t₀, t₁] une fonction h par

${\displaystyle h(t)=\int _{t_{0}}^{t}{g(s) \over s-t_{0}}\mathrm {d} s,}$

qui majore l'expression intégrale de g(t) d'après l'hypothèse du critère de Nagumo.

On obtient ainsi

${\displaystyle h'(t)={g(t) \over t-t_{0}}\leq {h(t) \over t-t_{0}},}$

autrement dit l'application t ↦ h(t)/(t – t₀) est décroissante sur ]t₀, t₁]. Comme elle est à valeurs positives et de limite nulle en t₀, elle est constamment nulle, donc g aussi.

Exemple

Soit l'application ${\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ définie par

${\displaystyle f(t,u)={\sqrt {t^{2}+|u|}}}$

et soit le problème de Cauchy

${\displaystyle u'=f(t,u),\quad u(0)=0}$

L'application ${\displaystyle f}$ n'est pas lipschitzienne par rapport à u au voisinage de l'origine, en effet, on sait que ${\displaystyle f(0,u)={\sqrt {|u|}}}$ n'est pas lipschitzienne à l'origine.

Cependant, pour tout ${\displaystyle t\neq 0}$, on déduit du théorème des accroissements finis qu'il existe c entre ${\displaystyle t^{2}+|u|}$ et ${\displaystyle t^{2}+|v|}$ tel que

${\displaystyle {\sqrt {t^{2}+|u|}}-{\sqrt {t^{2}+|v|}}={|u|-|v| \over 2{\sqrt {c}}}}$

par conséquent, f satisfait le critère de Nagumo dans tout cylindre centré à l'origine puisque

${\displaystyle \left|{\sqrt {t^{2}+|u|}}-{\sqrt {t^{2}+|v|}}\right|\leq {|u-v| \over 2|t|}}$

pour tout ${\displaystyle u,v\in \mathbb {R} }$ et pour tout ${\displaystyle t\neq 0}$. On conclut donc que le problème de Cauchy possède une et une seule solution.

Notes et références

1. (en) Ravi P. Agarwal et Donal O'Regan, An Introduction to Ordinary Differential Equations, New-York, Springer, 2008, 321 p. (ISBN 978-0-387-71275-8, lire en ligne), p. 70-71

• Denis Bonheure, Équations différentielles ordinaires, notes de cours de l'Université catholique de Louvain
• (en) Adrian Constantin (de), « On Nagumo's theorem », Proc. Japan Acad. Ser. A, vol. 86, n^o 2,‎ 2010, p. 41-44 (lire en ligne)

Voir aussi

Le critère d'Osgood dans (en) Gerald Teschl, Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, AMS, 2012 (ISBN 978-0-82188328-0, lire en ligne), p. 58, qui fournit une condition suffisante d'unicité, moins restrictive que celle de Cauchy-Lipschitz.