Conjecture jacobienne

En mathématiques, et plus précisément en géométrie algébrique, la conjecture jacobienne est une conjecture concernant les polynômes à plusieurs variables. Elle fut proposée en 1939 par Ott-Heinrich Keller (en), et Shreeram Abhyankar lui donna par la suite son nom actuel, la popularisant comme un exemple d'une question de géométrie algébrique ne demandant que peu de connaissances pour être énoncée.

La conjecture jacobienne est également célèbre pour le grand nombre de tentatives de preuves qu'elle a suscitées, et qui contenaient des erreurs subtiles. En 2024, aucune démonstration n'est reconnue pour valide.

Formulation

Pour N > 1, soient N polynômes Fi (pour 1 ≤ i ≤ N) dans les variables X1, …, XN, et dont les coefficients appartiennent à un corps algébriquement clos k (on peut en fait supposer que k = C, le corps des nombres complexes). Considérons cette suite de polynômes comme une fonction vectorielle F: kN → kN dont les composantes sont les Fi . Le jacobien J de F est par définition le déterminant de la matrice jacobienne N × N formée des dérivées partielles des Fi par rapport aux Xj : J est lui-même une fonction des N variables X1, … , XN ; et même une fonction polynomiale.

La condition J ≠ 0 assure (pour des fonctions régulières, et donc en particulier pour des polynômes) l'existence d'un inverse local pour F (c'est le théorème des fonctions implicites) en chaque point où elle est vérifiée. Comme k est algébriquement clos, et que J est un polynôme, J s'annule pour certaines valeurs des X1, …, XN, sauf si J est constante. On en déduit facilement que :

Si F possède une fonction inverse (globale), c'est-à-dire s'il existe G : kN → kN telle que G∘F = F∘G = identité (de kN ), alors J est une constante non nulle.

La conjecture jacobienne affirme que sur tout corps de caractéristique 0, la réciproque (un peu renforcée) suivante est vraie :

Si J est une constante non nulle et si k est un corps de caractéristique 0, alors F admet un inverse G : kN → kN, et G est régulière, c'est-à-dire que ses composantes sont données par des polynômes.

Résultats

En 1980, Wang[1] démontra la conjecture jacobienne pour les polynômes de degré 2, et en 1982, Bass, Connell et Wright[2] démontrèrent que le cas général est conséquence du cas particulier des polynômes de degré 3. La conjecture a été vérifiée par Moh[3] pour les polynômes à deux variables de degré au plus 100.

La conjecture jacobienne est équivalente à la conjecture de Dixmier[4].

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Jacobian conjecture » (voir la liste des auteurs).
  1. ↑ (en) Stuart Sui-Sheng Wang, « A jacobian criterion for separability », J. Algebra, vol. 65,‎ , p. 453-494.
  2. ↑ (en) Hyman Bass, Edwin H. Connell et David Wright, « The Jacobian conjecture: reduction of degree and formal expansion of the inverse », Bull. Amer. Math. Soc. (New Series), vol. 7, no 2,‎ , p. 287-330 (OCLC 670617598, DOI 10.1090/S0273-0979-1982-15032-7), lien Math Reviews.
  3. ↑ (en) Tzuong-Tsieng Moh, « On the Jacobian conjecture and the configurations of roots », J. reine angew. Math., vol. 340,‎ , p. 140-212 (lire en ligne).
  4. ↑ (en) Pascal Kossivi Adjamagbo et Arno van den Essen, « A proof of the equivalence of the Dixmier, Jacobian and Poisson conjectures », Acta Math. Vietnam, vol. 32, nos 2-3,‎ , p. 205-214.

Voir aussi

Article connexe

Problèmes de Smale

Bibliographie

Lien externe

(en) Page de T. T. Moh sur la conjecture