Conjecture de Catalan

La conjecture de Catalan est un résultat de la théorie des nombres conjecturé en 1844 par Eugène Charles Catalan et démontré en avril 2002 par Preda Mihăilescu[1].

Ce théorème s'énonce de la façon suivante :

Théorème — Les deux seules puissances parfaites consécutives sont 8 et 9 (qui valent respectivement 2^3 et 3^2).

(Une puissance parfaite est un entier > 1 élevé à une puissance entière > 1, comme 6^4.)

En d'autres termes, la seule solution en nombres naturels de l'équation

x^a − y^b = 1

pour x, a, y, b > 1 est x = 3, a = 2, y = 2, b = 3.

La démonstration fait un important usage de la théorie des corps cyclotomiques et des modules de Galois[2].

Historique

Catalan a formulé sa conjecture en 1844[3], sa résolution s'est écoulée sur 150 ans.

Résolution de cas particuliers

En 1850, Victor-Amédée Le Besgue montre que pour tout nombre premier ${\displaystyle p}$, l'équation ${\displaystyle x^{p}-y^{2}=1}$ n'a pas de solution non triviale en nombres entiers[4]. En 1965, Ke Zhao montre que si ${\displaystyle q}$ est un nombre premier alors les solutions triviales ${\displaystyle (q=3;x=3;y=2)}$ et ${\displaystyle (q=3;x=-3;y=2)}$ sont les uniques solutions de l'équation ${\displaystyle x^{2}-y^{q}=1}$[3].

Résolution complète

Démontré en 1976, le théorème de Tijdeman affirme que l'équation de Catalan ne possède qu'un nombre fini de solutions. Preda Mihăilescu démontre la conjecture de Catalan en 2003, en se plaçant dans le cadre de la théorie des corps cyclotomiques et ce de manière inattendue car cette théorie est insuffisante pour résoudre d'autres équations diophantiennes comme notamment celle du grand théorème de Fermat[3].

Variante : la conjecture de Pillai

La conjecture de Pillai généralise ce résultat. Elle énonce que chaque entier ne s'écrit qu'un nombre fini de fois comme différence de puissances parfaites. C'est encore un problème ouvert, qui fut proposé par S. S. Pillai en 1942, à la suite de ses travaux sur les équations diophantiennes exponentielles.

La table suivante (voir suite A103953 de l'OEIS pour le plus petit k et suite A076427 de l'OEIS pour le nombre de solutions) donne les valeurs connues en 2005 pour n< 65.

n	entiers k tels que k et k + n sont des puissances d'entiers	n	entiers k tels que k et k + n sont des puissances d'entiers
1	8	33	16, 256
2	25	34
3	1, 125	35	1, 289, 1296
4	4, 32, 121	36	64, 1728
5	4, 27	37	27, 324, 14348907
6		38	1331
7	1, 9, 25, 121, 32761	39	25, 361, 961, 10609
8	1, 8, 97336	40	9, 81, 216, 2704
9	16, 27, 216, 64000	41	8, 128, 400
10	2187	42
11	16, 25, 3125, 3364	43	441
12	4, 2197	44	81, 100, 125
13	36, 243, 4900	45	4, 36, 484, 9216
14		46	243
15	1, 49, 1295029	47	81, 169, 196, 529, 1681, 250000
16	9, 16, 128	48	1, 16, 121, 21904
17	8, 32, 64, 512, 79507, 140608, 143384152904	49	32, 576, 274576
18	9, 225, 343	50
19	8, 81, 125, 324, 503284356	51	49, 625
20	16, 196	52	144
21	4, 100	53	676, 24336
22	27, 2187	54	27, 289
23	4, 9, 121, 2025	55	9, 729, 175561
24	1, 8, 25, 1000, 542939080312	56	8, 25, 169, 5776
25	100, 144	57	64, 343, 784
26	1, 42849, 6436343	58
27	9, 169, 216	59	841
28	4, 8, 36, 100, 484, 50625, 131044	60	4, 196, 2515396, 2535525316
29	196	61	64, 900
30	6859	62
31	1, 225	63	1, 81, 961, 183250369
32	4, 32, 49, 7744	64	36, 64, 225, 512

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Catalan's conjecture » (voir la liste des auteurs).

1. (en) Catalan's problem, sur Prime Pages.
2. (en) Jeanine Daems, A Cyclotomic Proof of Catalan's Conjecture, sept. 2003.
3. Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris/58-Clamecy, Calvage et Mounet, 2019, 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), V. Équations diophantiennes, chap. 3.4 (« Équation de Catalan »), p. 487.
4. Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Paris/58-Clamecy, Calvage et Mounet, 2019, 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), V. Équations diophantiennes, chap. 3.1 (« Équation de Lebesgue »), p. 487.

Voir aussi

Liens externes

• (en) Yuri F. Bilu, « Catalan's conjecture », Séminaire Bourbaki, t. 45,‎ 2002-2003, p. 1-26 (lire en ligne) ou (en) Yuri F. Bilu, « Catalan's conjecture (after Mihăilescu) », Astérisque, vol. 294,‎ 2004, vii, 1-26 (zbMATH 1094.11014)
• Jacques Boéchat et Maurice Mischler, La conjecture de Catalan racontée à un ami qui a le temps, 2005. « math.NT/0502350 », texte en accès libre, sur arXiv..
• Vincent Brayer, Méthodes algébriques dans la conjecture de Catalan, École polytechnique fédérale de Lausanne, Département de mathématiques, Lausanne, févr. 2004, iv + 46 pp.
• Henri Cohen, Démonstration de la conjecture de Catalan, Laboratoire A2X, U.M.R. 5465 du C.N.R.S., Université de Bordeaux, 83 pp.
• (en) Tauno Metsänkylä (fi), « Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 41, n^o 1,‎ 2003, p. 43-57 (lire en ligne).
• (en) Page personnelle de Preda Mihăilescu à l'université de Paderborn.
• (en) Ivars Peterson's MathTrek, sur le site de la MAA.
• Gérard Villemin, Conjecture de Catalan.

Bibliographie

(en) René Schoof (en), Catalan's Conjecture, Springer-Verlag, 2008

Articles connexes

• Théorème de Tijdeman
• Conjecture de Fermat-Catalan, combinant les idées du dernier théorème de Fermat et la conjecture de Catalan.