Approximation de Gauss

L'approximation de Gauss nommée d'après le physicien allemand Carl Friedrich Gauss, est l'approximation linéaire de l'optique géométrique[1] obtenue dans certaines conditions appelées conditions de Gauss. Cette approximation, souvent applicable en pratique, permet de simplifier les relations mathématiques de l'optique géométrique. On obtient dans ces conditions un stigmatisme approché. Les écarts à cette approximation rencontrés dans les instruments d'optique sont appelés aberrations géométriques.

Conditions de Gauss

Les conditions dans lesquelles on peut appliquer l'approximation de Gauss sont les suivantes :

• l'angle entre le rayon incident et l'axe optique de l'élément est faible[2] ;
• le point d'incidence est proche de l'axe optique : on dit alors que l'on travaille avec des rayons paraxiaux[3].

Lorsque ces conditions sont respectées, on peut considérer le système optique comme approximativement stigmatique. Pour réaliser ces conditions, on peut utiliser des diaphragmes qui limitent l'étendue des faisceaux autour de l'axe optique[3].

Interprétations mathématiques

L'approximation de Gauss, appelée également approximation des petits angles, est un développement limité d'ordre 1 (on parle aussi de linéarisation) des fonctions trigonométriques de base pour ${\displaystyle \alpha }$ assez petit[a] et exprimé en radians :

• ${\displaystyle \cos \alpha \simeq 1-{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\simeq 1}$ ;
• ${\displaystyle \sin \alpha \simeq \alpha }$ ;
• ${\displaystyle \tan \alpha \simeq \alpha }$.

Une justification rigoureuse de cette approximation est donnée, par exemple, par le théorème de Taylor (si l'on définit les fonctions trigonométriques par l'analyse), ou en partant de l'encadrement ${\displaystyle \sin \alpha <\alpha <\tan \alpha }$, qu'on peut démontrer purement géométriquement.

Notes et références

Notes

1. L'erreur commise est de l'ordre de ${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{2}}}$ pour le cosinus et de ${\displaystyle {\frac {\alpha ^{3}}{6}}}$ pour le sinus. Pour des angles inférieurs à 5 degrés, soit 0,1 radian, on obtient un résultat souvent assez précis en pratique.

Références

1. José-Philippe Pérez, Optique : Fondements et applications [détail des éditions], 5^e édition, page 28.
2. Tamer Becherrawy, Optique géométrique, De Boeck Supérieur, 19 décembre 2005, 404 p. (ISBN 978-2-8041-4912-3, présentation en ligne).
3. Optique géométrique: imagerie et instruments sur Google Livres.

Voir aussi

Articles connexes

• Optique
• Lentille
• Dioptre

Liens externes

• Notice dans un dictionnaire ou une encyclopédie généraliste :

  • Britannica