Application transposée

En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, l'application transposée d'une application linéaire u : E → F entre deux espaces vectoriels est l'application ^tu : F* → E* entre leurs duals définie par :

${\displaystyle \forall \ell \in F^{*},\qquad ^{\operatorname {t} }\!u(\ell )=\ell \circ u}$

ou encore, si ${\displaystyle \langle \;,\ \rangle }$ est le crochet de dualité de E :

${\displaystyle \forall x\in E,\forall \ell \in F^{*},\qquad \langle ^{\operatorname {t} }\!u(\ell ),x\rangle =\langle \ell ,u(x)\rangle .}$

La forme linéaire résultante ${\displaystyle ^{\operatorname {t} }\!u(\ell )\in E^{*}}$ est nommée application transposée de ${\displaystyle \ell }$ le long de ${\displaystyle u}$.

Cette définition se généralise à des K-modules à droite sur un anneau (non nécessairement commutatif), en se souvenant que le dual d'un K-module à droite est un K-module à gauche, ou encore[1] un module à droite sur l'anneau opposé K^op.

Propriétés

• L'application ^tu ainsi associée à u est, comme elle, linéaire.
• L'application qui à une application linéaire associe sa transposée est appelée la transposition. C'est elle-même une application linéaire[2], de L(E, F) dans L(F*, E*).
• ker(^tu) = (im u)^⊥ (donc ^tu est injective si et seulement si u est surjective) et im(^tu) = (ker u)^⊥ (donc ^tu est surjective si et seulement si u est injective)[3].
• L'application de transposition est compatible avec la composition : si u est linéaire de E dans F et v linéaire de F dans G,${\displaystyle ^{\operatorname {t} }\!(v\circ u)={}^{\operatorname {t} }\!u\circ ^{\operatorname {t} }\!v.}$(Notamment si u est un isomorphisme, alors l'inverse de la transposée de u est égal à la transposée de l'inverse de u.)
• Pour toutes parties A de E et B de F, on a [u(A)]^⊥ = (^tu)^−1(A^⊥), et u(A) ⊂ B ⇒ ^tu(B^⊥) ⊂ A^⊥.
• Si E et F sont des espaces vectoriels de dimensions finies sur un corps commutatif[4], de bases respectives B et C, alors la matrice de la transposée de u, dans les bases duales C* et B*, est la transposée de la matrice de u dans les bases B et C :${\displaystyle \operatorname {mat} _{C^{*},B^{*}}(^{\operatorname {t} }\!u)={}^{\operatorname {t} }\!\operatorname {mat} _{B,C}(u).}$En effet, si B = (e₁, …, e_n) et C = (f₁, …, f_m), l'élément d'indices i,k de la matrice mat_C*,B*(^tu) est 〈^tu(f_k*), e_i〉 et l'élément d'indices k,i de la matrice mat_B,C(u) est 〈f_k*, u(e_i)〉.
• Compte tenu du fait que la matrice d'une composée est le produit des matrices, on retrouve, à partir des deux points précédents, la formule[4] ^t(AB) = ^tB.^tA.

Application transposée en général

La notion de transposée intervient de façon beaucoup plus générale. Si l'on dispose d'une application ${\displaystyle f}$ entre deux ensembles :

${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$.

On en déduit pour tout ensemble ${\displaystyle Z}$ une application ${\displaystyle f^{*}}$ :

${\displaystyle f^{*}:\mathrm {Hom} _{Ensemble}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{Ensemble}(X,Z)}$

définie par ${\displaystyle f^{*}(g)=g\circ f}$ où ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{Ensemble}(A,B)}$ désigne l'ensemble ${\displaystyle B^{A}}$ des applications de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle B}$.

Si ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ et ${\displaystyle Z}$ sont des groupes, on peut utiliser exactement la même définition pour construire

${\displaystyle f^{*}:\mathrm {Hom} _{Groupe}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{Groupe}(X,Z)}$

où cette fois ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{Groupe}(A,B)}$ désigne l'ensemble des morphismes de groupes de ${\displaystyle A}$ dans ${\displaystyle B}$.

On pourrait de même définir la transposée d'un morphisme d'anneaux, d'espaces topologiques, d'espaces vectoriels topologiques, etc.

Cette construction entre donc dans le cadre général de la théorie des catégories.

Si ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ est une catégorie ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ sont des objets de ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ et ${\displaystyle f}$ est un élément de ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(X,Y)}$. Alors pour tout objet ${\displaystyle Z}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$, il existe une application ${\displaystyle f^{*}}$ appelée transposée de ${\displaystyle f}$ :

${\displaystyle f^{*}:\mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(Y,Z)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(X,Z)}$.

C'est l'image ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(f,Z)}$ de ${\displaystyle f}$ par le foncteur Hom contravariant ${\displaystyle \mathrm {Hom} _{\mathfrak {C}}(\cdot ,Z)}$ de ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ dans la catégorie ${\displaystyle \mathrm {Ens} }$ des ensembles.

Notes

1. En posant (λμ)y* = y*.(μ.λ) où (μ, y*) ↦ μy* est l'action de K sur F*, (μ, y*) ↦ y*.μ est l'action de K^op sur F*, (λ, μ) ↦ λμ est le produit dans K, (λ, μ) ↦ μ.λ est le produit dans K^op, etc.
2. À prendre au sens « ℤ-linéaire », i.e. morphisme de groupes abéliens, si l'anneau n'est pas commutatif.
3. Voir par exemple cet exercice corrigé de la leçon « Dualité » sur Wikiversité.
4. Ceci reste vrai pour des K-modules à droite libres de type fini sur un anneau K non nécessairement commutatif, la transposée d'une matrice à coefficients dans K étant alors une matrice à coefficients dans K^op.

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