Algorithme de multiplication d'entiers

Les algorithmes de multiplication permettent de calculer le résultat d'une multiplication.

Graphiquement, il s'agit de transformer un rectangle multiplicateur × multiplicande en une ligne, en conservant le nombre d'éléments.

Multiplication basée sur le nombre 2

Ce type de multiplication n'utilise que des additions et des multiplications ou des divisions par 2. Elle ne nécessite pas de connaître de table de multiplication (autre que la multiplication par 2).

Multiplication basée sur la notation décimale

Ce type de multiplication utilise la décomposition décimale des nombres et nécessite de multiplier chaque chiffre du premier nombre par chaque chiffre du second. Elle nécessite de connaître les tables de multiplications d'un chiffre par un autre. Cependant, plusieurs types de disposition ont été adoptés au cours des temps.

Technique de la multiplication en Chine antique
Technique de la multiplication par glissement
Technique de la multiplication par jalousies
Technique de multiplication à la main (avec la table de multiplication)
Technique graphique de multiplication par décompte de points d'intersection (ne nécessite pas de connaître la table de multiplication).

Multiplication rapide

Les méthodes décrites dans les pages précédentes nécessitent pour la plupart de multiplier chaque chiffre du multiplicateur par chaque chiffre du multiplicande. Si ces deux nombres ont $n$ chiffres, cela exige $n^{2}$ produits : on dit que le calcul a une complexité en temps quadratique, ou en ${\mathcal {O}}(n^{2})$ .

L'apparition des ordinateurs a permis et exigé la mise au point d'algorithmes plus rapides pour les grands nombres, les premiers trouvés ayant une complexité en temps de la forme $O(n^{1+a})$ , où a est un réel positif strictement inférieur à 1. Arnold Schönhage et Volker Strassen ont conjecturé en 1971 que le produit de deux entiers a une complexité en $O(n\log n)$ , c'est-à-dire qu'il existe un algorithme ayant cette complexité en temps, et qu'aucun n'en a de meilleure^[1]^,^[2]. La meilleure complexité actuelle est depuis 2019 en $O(n\log n)$ mais n'est pas utilisable en pratique car elle n'est atteinte que pour des nombres extrêmement grands, supérieurs à $2^{1729^{12}}$ dans la publication d'origine^[1]^,^[2]. Aucun algorithme présentant une meilleure complexité que celle conjecturée n'a été trouvé et la conjecture de Schönhage et Strassen est toujours supposée valide en 2019^[1]. Tous les algorithmes ci-dessous ont été mis au point après 1960.

Algorithme de Karatsuba : complexité en ${\mathcal {O}}(n^{\log _{2}(3)})$ soit approximativement en ${\mathcal {O}}(n^{1,585})$ ; conçu en 1962^[3], c'est le premier algorithme ayant une complexité sub-quadratique^[1];
Algorithme Toom-Cook ou "Toom3" : complexité en ${\mathcal {O}}(n^{\log _{3}(5)})$ soit approximativement en ${\mathcal {O}}(n^{1,465})$ ;
Algorithme de Schönhage-Strassen, méthode utilisant la transformation de Fourier rapide : complexité en ${\mathcal {O}}(n\cdot \log n\cdot \log \log n)$ , conçu en 1971^[1];
Algorithme de Fürer : complexité en ${\mathcal {O}}(n\log nK^{O(\log ^{*}n)})$ , où $\log ^{*}n$ désigne le logarithme itéré et $K$ un nombre strictement supérieur à 1^[1], conçu en 2007;
Algorithme de Harvey et van der Hoeven : en mars 2019, David Harvey et Joris van der Hoeven annoncent un algorithme de multiplication en ${\mathcal {O}}(n\log n)$ ^[4]^,^[5]. L'algorithme est publié dans les Annals of Mathematics en 2021^[6]^,^[1]. Schönhage et Strassen ont prédit que n log(n) est le meilleur résultat possible, et Harvey en conclut : « ...notre travail devrait être la fin de la route pour ce problème, bien que nous ne sachions pas encore comment le prouver rigoureusement^[7]. »

La plupart des processeurs récents implémentent les multiplications sous forme de circuits électroniques, mais qui ne gèrent que des entiers de taille limitée. On appelle de tels circuits des multiplieurs.

Autres multiplications

Multiplication de matrices

Notes et références

↑ ^{a b c d e f et g} (en) David Harvey et Joris Van Der Hoeven, « Integer multiplication in time O(n log n) », HAL,‎ 18 mars 2019 (lire en ligne).
↑ ^{a et b} Céline Deluzarche, « Oubliez vos tables de multiplication : voici une nouvelle méthode bien plus efficace », sur Futura Sciences, 12 avril 2019.
↑ A. Karatsuba and Yu. Ofman, « Multiplication of Many-Digital Numbers by Automatic Computers », Doklady Akademii Nauk, vol. 145,‎ 1962, p. 293–294
traduit en anglais dans le journal Doklady Physics (en), 7 (1963), pp. 595–596
↑ Kevin Hartnett, « Mathematicians Discover the Perfect Way to Multiply », Quanta Magazine,‎ 11 avril 2019 (lire en ligne, consulté le 3 mai 2019).
↑ Kheira Bettayeb, « La multiplication réinventée », sur CNRS, 15 mai 2019 (consulté le 26 juin 2019).
↑ David Harvey et Joris van der Hoeven, « Integer multiplication in time $O(n\log n)$ », Annals of Mathematics Second series, vol. 193, n^o 2,‎ 2021, p. 563-617 (DOI 10.4007/annals.2021 .193.2.4, MR 4224716).
↑ Lachlan Gilbert, « Maths whiz solves 48-year-old multiplication problem », UNSW,‎ 4 avril 2019 (lire en ligne, consulté le 18 avril 2019)