Algèbre de Toeplitz

En théorie des algèbres d'opérateurs, l'algèbre de Toeplitz ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ est la C*-algèbre universelle engendrée par une isométrie ${\displaystyle S}$ non unitaire. En clair, ce générateur vérifie :

${\displaystyle S^{*}S=1\qquad {\text{mais}}\qquad SS^{*}\neq 1.}$

Si on définit l'élément ${\displaystyle P}$ de cette algèbre par ${\displaystyle P:=1-SS^{*}}$, on obtient, comme pour toute isométrie, les relations :

${\displaystyle PS=0\qquad {\text{et}}\qquad S^{*}P=0.}$

Réalisation concrète

Considérons l'espace de Hilbert ${\displaystyle {\mathcal {H}}:=l^{2}(\mathbb {N} )}$. On peut définir l'opérateur de décalage (shift en anglais) ${\displaystyle S}$ sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ en posant : ${\displaystyle Se_{n}=e_{n+1}.}$ La sous-algèbre involutive normiquement fermée des opérateurs bornés sur ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ engendrée par ${\displaystyle S}$ est une réalisation de l'algèbre de Toeplitz ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

Suite exacte courte

L'algèbre ${\displaystyle \mathbb {K} }$ des opérateurs compacts peut se réaliser dans ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ grâce à l'injection ${\displaystyle \iota \colon e_{i,j}\mapsto (S^{*})^{i}PS^{j}}$ (${\displaystyle i,j\in \mathbb {N} }$). On obtient en fait une suite exacte courte de C*-algèbres :

${\displaystyle 0\to \mathbb {K} \to {\mathcal {T}}\to C(\mathbb {T} )\to 0}$

où ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ est l'algèbre de fonctions continues sur le cercle unité ${\displaystyle \mathbb {T} }$ et le morphisme de ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ dans ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$ est celui qui à ${\displaystyle S}$ associe le générateur ${\displaystyle z\mapsto z}$ de ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$.

K-théorie

La K-théorie de cette algèbre est :

${\displaystyle K_{0}({\mathcal {T}})=\mathbb {Z} \qquad {\text{et}}\qquad K_{1}({\mathcal {T}})=0.}$

En outre, ${\displaystyle K_{0}({\mathcal {T}})}$ est générée par la classe de l'identité de ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$.

On peut le voir, par exemple, en utilisant la notion d'appariement entre cohomologie cyclique et K-théorie. En effet, l'application ${\displaystyle {\mathcal {T}}\to C(\mathbb {T} )}$ permet de définir une trace sur ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ par référence à l'intégration sur ${\displaystyle C(\mathbb {T} )}$. Un calcul rapide montre alors que la classe de l'identité de ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ est non nulle. En travaillant un peu plus, on montre qu'il s'agit en fait d'un générateur.

Références

• (en) M. Rørdam, F. Larsen et N. Lausten, An Introduction to K-Theory for C*-Algebras, CUP, 2000 (lire en ligne), p. 167-168
• (en) N. E. Wegge-Olsen, K-theory and C*-algebras, Oxford Science Publications, 1993