92-graphe de Horton

92-Graphe de Horton
Nombre de sommets	92
Nombre d'arêtes	138
Distribution des degrés	3-régulier
Rayon	11
Diamètre	12
Maille	6
Nombre chromatique	2
Indice chromatique	3
Propriétés	Biparti Cubique Régulier
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Le 92-graphe de Horton est, en théorie des graphes, un graphe 3-régulier possédant 92 sommets et 138 arêtes.

Histoire

En 1971, le mathématicien et cryptanalyste William Tutte conjecture qu'il n'existe pas de graphe 3-sommet-connexe qui soit cubique, biparti et non-hamiltonien[1]. Mais J. D. Horton trouve un contre-exemple à 96 sommets, le graphe de Horton, publié par Bondy & Murty en 1976[2].

Après cela, d'autres contre-exemples sont découverts. En 1982, c'est un graphe à 92 sommets, encore construit par Horton (le 92-graphe de Horton)[3], puis, en 1983, Owens trouve un contre-exemple d'ordre 78[4].

Avec Ellingham, Horton publie deux contre-exemples à la conjecture de Tutte : un graphe d'ordre 78 en 1981 (le 78-graphe de Ellingham-Horton)[5] et un graphe d'ordre 54 en 1983 (le 54-graphe de Ellingham-Horton)[6]. À l'heure actuelle, ce graphe à 54 sommets est le plus petit graphe non-hamiltonien biparti cubique 3-sommet-connexe connu.

Propriétés

Propriétés générales

Le diamètre du 92-graphe de Horton, l'excentricité maximale de ses sommets, est 12, son rayon, l'excentricité minimale de ses sommets, est 11 et sa maille, la longueur de son plus court cycle, est 6. Il s'agit d'un graphe 3-sommet-connexe et d'un graphe 3-arête-connexe, c'est-à-dire qu'il est connexe et que pour le rendre déconnecté il faut le priver au minimum de 3 sommets ou de 3 arêtes.

Coloration

Le nombre chromatique du 92-graphe de Horton est 2. C'est-à-dire qu'il est possible de le colorer avec 2 couleurs de telle façon que deux sommets reliés par une arête soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

L'indice chromatique du 92-graphe de Horton est 3. Il existe donc une 3-coloration des arêtes du graphe telles que deux arêtes incidentes à un même sommet soient toujours de couleurs différentes. Ce nombre est minimal.

Voir aussi

Liens internes

• Théorie des graphes

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, Tutte Conjecture (MathWorld)

Références

1. (en) William Tutte, « On the 2-Factors of Bicubic Graphs », Discrete Mathematics, Elsevier, vol. 1, n^o 2,‎ 22 mars 1971, p. 203-208 (DOI 10.1016/0012-365X(71)90027-6).
2. (en) J. A. Bondy et U. S. R. Murty, Graph Theory with Applications, New York, North Holland, 1976 (ISBN 978-0-444-19451-0, lire en ligne), p. 240
3. (en) J. D. Horton, « On two-factors of bipartite regular graphs », Discrete Mathematics, vol. 41, n^o 1,‎ 1982, p. 35–41 (DOI 10.1016/0012-365X(82)90079-6).
4. (en) P. J. Owens, « Bipartite cubic graphs and a shortness exponent », Discrete Mathematics, vol. 44, n^o 3,‎ 1983, p. 327–330 (DOI 10.1016/0012-365X(83)90201-7).
5. (en) M. N. Ellingham, Non-Hamiltonian 3-connected cubic partite graphs, Dept. of Math., Univ. Melbourne, 1981.
6. (en) M. N. Ellingham et J. D. Horton, « Non-Hamiltonian 3-connected cubic bipartite graphs », Journal of Combinatorial Theory, Series B, vol. 34, n^o 3,‎ 1983, p. 350–353 (DOI 10.1016/0095-8956(83)90046-1).