Trident d'équation y = x²+1/x El tridente de Newton es el nombre que se le da a una curva estudiada por Isaac Newton . También se le conoce como parábola de Descartes , aunque no es una parábola .[ 1]
En un estudio realizado en 1676 y publicado en 1704, Newton intentó clasificar todas las
curvas cúbicas , es decir, todas aquellas curvas planas cuya ecuación es de la forma:
a
x
3
+
b
x
2
y
+
c
x
y
2
+
d
y
3
+
e
x
2
+
f
x
y
+
g
y
2
+
h
x
+
i
y
+
j
=
0
{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}y+cxy^{2}+dy^{3}+ex^{2}+fxy+gy^{2}+hx+iy+j=0\,}
Newton contó 72 tipos, que pueden clasificarse en cuatro clases:
las curvas de ecuación
x
y
2
+
e
y
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle xy^{2}+ey=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
las curvas de ecuación
x
y
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
las curvas de ecuación
y
2
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle y^{2}=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
las curvas de ecuación
y
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
Los llamados tridentes de Newton son del tipo 2.
Los tridentes de Newton tienen por ecuación cartesiana canónica:
x
y
=
a
x
3
+
b
x
2
+
c
x
+
d
{\displaystyle xy=ax^{3}+bx^{2}+cx+d\,}
donde a y d no son nulos.
Dominio
El dominio de los tridentes de Newton es:
D
f
=
R
∗
{\displaystyle D_{f}=\mathbb {R} ^{*}}
Derivada
Como son funciones racionales
D
f
{\displaystyle D_{f}}
f
′
(
x
)
=
2
a
x
+
b
−
d
x
2
{\displaystyle f^{'}(x)=2ax+b-{\frac {d}{x^{2}}}}
En el infinito , los tridentes de Newton tienden a
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
lim
x
→
±
∞
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=+\infty }
lim
x
→
±
∞
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to \pm \infty }f(x)=-\infty }
En 0, los tridentes de Newton tienden a
+
∞
{\displaystyle +\infty }
−
∞
{\displaystyle -\infty }
Si d>0 entonces
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=+\infty }
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=-\infty }
Si d<0 entonces
lim
x
→
0
+
f
(
x
)
=
−
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{+}}f(x)=-\infty }
lim
x
→
0
−
f
(
x
)
=
+
∞
{\displaystyle \lim _{x\to 0^{-}}f(x)=+\infty }
La asíntota de los tridentes de Newton es la parábola de ecuación:
y
=
a
x
2
+
b
x
+
c
{\displaystyle y=ax^{2}+bx+c}
También la hipérbola de ecuación:
y
=
d
x
{\displaystyle y={\frac {d}{x}}}
Hay entre uno y tres puntos de intersección entre la curva del tridente de Newton y el eje horizontal de acuerdo con el valor de los coeficientes a, b, c, d .
Referencias
Enlaces externos
