Transformada de Möbius

En teoría de números, la transformada de Möbius, llamada así en honor a August Ferdinand Möbius es una transformación de funciones aritméticas. Si f es una función definida sobre los números enteros positivos, Tf viene dada por

${\displaystyle (Tf)(n)=\sum _{d\mid n}f(d)\mu \left({n \over d}\right)=\sum _{d\mid n}f\left({n \over d}\right)\mu (d)}$

donde μ es la función de Möbius clásica.[1]​ En un lenguaje más común y extendido por razones históricas, la función Tf se llama inversa de Möbius de f.[2]​ (La notación d | n significa que d es un divisor de n).

La transformación toma funciones aritméticas, o sea, funciones f: N → C y devuelve funciones aritméticas. Sobre funciones generadas mediante series de Dirichlet, se corresponde a una división por la función zeta de Riemann.

La transformada inversa T^-1f viene dada por

${\displaystyle (T^{-1}f)(n)=\sum _{d\mid n}f(d).}$

Relaciones con series

Sea

${\displaystyle a_{n}=\sum _{d\mid n}b_{d}}$

de manera que

${\displaystyle b_{n}=\sum _{d\mid n}\mu \left({\frac {n}{d}}\right)a_{d}}$

sea su transformada de Möbius. Las transformadas están relacionadas por medio la serie de Lambert de la siguiente manera:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}}$

y por medio de las series de Dirichlet:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}=\zeta (s)\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {b_{n}}{n^{s}}}}$

donde ${\displaystyle \zeta (s)}$ es la función zeta de Riemann.

Véase también

• Fórmula de inversión de Möbius

Referencias

1. Pollack, Paul. «The Möbius transform and the infinitude of primes» (PDF) (en inglés). Consultado el 5 de enero de 2012. 
2. Schroeder, Manfred Robert (2006). «20. The Möbius Function and the Möbius Transform». Number theory in science and communication (en inglés) (4 edición). New York: Springer. pp. 220-222. ISBN 3540265961. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Möbius Transform». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q3537574