Teorema de Pickands-Balkema-de Haan

El teorema de Pickands-Balkema-De Haan, frecuentemente denominado segundo teorema de la teoría de valores extremos, proporciona la distribución asintótica de la cola de una variable aleatoria, cuando se desconoce su verdadera distribución. A menudo se le llama el segundo teorema en la teoría de valores extremos. A diferencia del primer teorema (el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko), que se refiere al máximo de una muestra, el teorema de Pickands-Balkema-De Haan describe los valores por encima de un umbral.

El teorema debe su nombre a los matemáticos James Pickands, Guus Balkema y Laurens de Haan.

Función de distribución condicional del exceso

Para una función de distribución desconocida ${\displaystyle F}$ de una variable aleatoria ${\displaystyle X}$, el teorema de Pickands-Balkema-De Haan describe la función de distribución condicional ${\displaystyle F_{u}}$ de la variable ${\displaystyle X}$ por encima de un cierto umbral ${\displaystyle u}$. Esta es la llamada función de distribución condicional del exceso de distribución, definida como

${\displaystyle F_{u}(y)=\mathbb {P} (X-u\leq y|X>u)={\frac {F(u+y)-F(u)}{1-F(u)}}}$

para ${\displaystyle 0\leq y\leq x_{F}-u}$, donde ${\displaystyle x_{F}}$ es el extremo derecho finito o infinito de la distribución subyacente ${\displaystyle F}$. La función ${\displaystyle F_{u}}$ describe la distribución del valor excedente sobre un umbral ${\displaystyle u}$, dado que se supera el umbral.

Enunciado

Sea ${\displaystyle F_{u}}$ la función de distribución condicional del exceso. Pickands,[1]​ Balkema y De Haan [2]​ planteó que para una gran clase de funciones de distribución subyacentes ${\displaystyle F}$, y grandes ${\displaystyle u}$, ${\displaystyle F_{u}}$ se aproxima bien por la distribución generalizada de Pareto, en el siguiente sentido. Supongamos que existen funciones ${\displaystyle a(u),b(u)}$, con ${\displaystyle a(u)>0}$ tales que ${\displaystyle F_{u}(a(u)y+b(u))}$ como ${\displaystyle u\rightarrow \infty }$ convergen a una distribución no degenerada, entonces dicho límite es igual a la distribución generalizada de Pareto:

${\displaystyle F_{u}(a(u)y+b(u))\rightarrow G_{k,\sigma }(y),{\text{ as }}u\rightarrow \infty }$

Dónde

• ${\displaystyle G_{K,\sigma }(Y)=1-(1+ky/\sigma )^{-1/k}}$, si ${\displaystyle K\neq 0}$
• ${\displaystyle G_{K,\sigma }(Y)=1-e^{-y/\sigma }}$, si ${\displaystyle K=0.}$

Aquí σ   >  0, y y  ≥  0 cuando k  ≥  0 y 0  ≤  y  ≤  &menos; σ /k cuando k  < 0. Estos casos especiales también se conocen como:

• Distribución exponencial con media ${\displaystyle \sigma }$, if k =  0,

• Distribución uniforme en ${\displaystyle [0,\sigma ]}$, si k = -1,

• Distribución de Pareto, si k  > 0.

La clase de funciones de distribución subyacentes ${\displaystyle F}$ están relacionadas con la clase de las funciones de distribución ${\displaystyle F}$ satisfacen el teorema de Fisher-Tippett-Gnedenko.[2]​

Dado que un caso especial de la distribución generalizada de Pareto es una ley de potencias, el teorema de Pickands-Balkema-De Haan se utiliza a veces para justificar el uso de una ley de potencias para modelar eventos extremos.

El teorema se ha extendido para incluir una gama más amplia de distribuciones.[3]​[4]​ Mientras que las versiones extendidas cubren, por ejemplo, las distribuciones normal y log-normal, las distribuciones siguen siendo continuas existen que no están cubiertos.[5]​

Véase también

• Distribución estable

Referencias

1. Iii, James Pickands (1 de enero de 1975). «Statistical Inference Using Extreme Order Statistics». The Annals of Statistics 3 (1). ISSN 0090-5364. doi:10.1214/aos/1176343003. 
2. Balkema, A. A.; de Haan, L. (1 de octubre de 1974). «Residual Life Time at Great Age». The Annals of Probability 2 (5). ISSN 0091-1798. doi:10.1214/aop/1176996548. 
3. Papastathopoulos, Ioannis; Tawn, Jonathan A. (2013). «Extended Generalised Pareto Models for Tail Estimation». Journal of Statistical Planning and Inference 143 (1): 131-143. S2CID 88512480. arXiv:1111.6899. doi:10.1016/j.jspi.2012.07.001. 
4. Lee, Seyoon; Kim, Joseph H. T. (18 de abril de 2019). «Exponentiated generalized Pareto distribution: Properties and applications towards extreme value theory». Communications in Statistics - Theory and Methods 48 (8): 2014-2038. ISSN 0361-0926. S2CID 88514574. arXiv:1708.01686. doi:10.1080/03610926.2018.1441418. 
5. Smith, Richard L.; Weissman, Ishay. Extreme Values (draft 2/27/2020 edición). 

Bibliografía

• Balkema, A.; de Haan, Laurens (1974). "Residual life time at great age", Annals of Probability, 2, 792–804.
• Pickands, J. (1975). "Statistical inference using extreme order statistics", Annals of Statistics, 3, 119–131.

• Datos: Q7190748