Tensor mixto

En un campo tensorial, un tensor mixto es aquel tensor que no es ni estrictamente covariante ni estrictamente contravariante; es decir, al menos uno de sus índices será un subíndice (covariante) y al menos uno de sus índices será un superíndice (contravariante).[1]​

Un tensor mixto de tipo o valencia ${\textstyle {\binom {M}{N}}}$, también escrito "tipo (M, N)", con ambos M > 0 y N > 0, es un tensor que tiene M índices contravariantes y N índices covariantes. Un tensor de este tipo puede definirse como una función lineal que asigna una tupla (M + N) de M 1-formas y N vectores a un escalar.

Cambio del tipo de tensor

Considérese el siguiente octeto de tensores relacionados:

${\displaystyle T_{\alpha \beta \gamma },\ T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma },\ T_{\alpha }{}^{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta \gamma },\ T^{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma },\ T^{\alpha \beta }{}_{\gamma },\ T^{\alpha \beta \gamma }.}$

El primero es covariante, el último es contravariante y los restantes mixtos. Notablemente, estos tensores se diferencian entre sí por la covarianza/contravarianza de sus índices. Un índice contravariante dado de un tensor se puede reducir usando el tensor métrico g_μν, y un índice covariante dado se puede aumentar usando el tensor métrico inverso g^μν. Por lo tanto, g_μν podría denominarse "operador de reducción del índice" y g^μν "operador de elevación del índice".

Generalmente, el tensor métrico covariante, contraído con un tensor de tipo (M, N), produce un tensor de tipo (M − 1, N + 1), mientras que su inversa contravariante, contraída con un tensor de tipo (M, N), produce un tensor de tipo (M + 1, N − 1).

Ejemplos

Como ejemplo, se puede obtener un tensor mixto de tipo (1, 2) elevando un índice de un tensor covariante de tipo (0, 3),

${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\gamma \lambda },}$

donde ${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }}$ es el mismo tensor que ${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\gamma }}$, porque

${\displaystyle T_{\alpha \beta }{}^{\lambda }\,\delta _{\lambda }{}^{\gamma }=T_{\alpha \beta }{}^{\gamma },}$

Kronecker δ actúa aquí como una matriz de identidad.

Asimismo,

${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda }{}_{\gamma }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda },}$

${\displaystyle T_{\alpha }{}^{\lambda \epsilon }=T_{\alpha \beta \gamma }\,g^{\beta \lambda }\,g^{\gamma \epsilon },}$

${\displaystyle T^{\alpha \beta }{}_{\gamma }=g_{\gamma \lambda }\,T^{\alpha \beta \lambda },}$

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\lambda \epsilon }=g_{\lambda \beta }\,g_{\epsilon \gamma }\,T^{\alpha \beta \gamma }.}$

Elevar un índice del tensor métrico equivale a contraerlo con su inverso, obteniendo la delta de Kronecker,

${\displaystyle g^{\mu \lambda }\,g_{\lambda \nu }=g^{\mu }{}_{\nu }=\delta ^{\mu }{}_{\nu },}$

por lo que cualquier versión mixta del tensor métrico será igual a la delta de Kronecker, que también será mixta.[2]​

Véase también

• Covarianza y contravarianza
• Convenio de suma de Einstein
• Cálculo de Ricci
• Tensor (definición intrínseca)
• Tensor de dos puntos

Referencias

1. John R. Fanchi (2006). Math Refresher for Scientists and Engineers. John Wiley & Sons. pp. 213 de 360. ISBN 9780471791546. Consultado el 22 de junio de 2024. 
2. James D. Walker (2021). Modern Impact and Penetration Mechanics. Cambridge University Press. pp. 640 de 694. ISBN 9781108497107. Consultado el 22 de junio de 2024. 

Bibliografía

• D.C. Kay (1988). Tensor Calculus. Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA). ISBN 0-07-033484-6. 
• Wheeler, J.A.; Misner, C.; Thorne, K.S. (1973). «§3.5 Working with Tensors». Gravitation. W.H. Freeman & Co. pp. 85-86. ISBN 0-7167-0344-0. 
• R. Penrose (2007). El camino a la realidad: Una guía completa a las leyes del universo. Vintage books. ISBN 978-0-679-77631-4. 

Enlaces externos

• Índice de gimnasia, Wolfram Alpha

• Datos: Q6884018