Semigrupo nulo

En matemáticas, un semigrupo nulo (también llamado semigrupo cero) es un semigrupo con un elemento absorbente, llamado cero, en el que el producto de dos elementos cualesquiera es cero.[1]​ Si cada elemento de un semigrupo es un cero izquierdo, entonces el semigrupo se llama semigrupo nulo izquierdo; un semigrupo nulo derecho se define de manera análoga.[2]​ Según Clifford y Preston, "a pesar de su trivialidad, estos semigrupos surgen de forma natural en varias investigaciones".[1]​

Semigrupo nulo

Sea S un semigrupo cuyo elemento nulo designaremos por 0. Entonces llamamos semigrupo nulo a S si xy = 0 para todo x e y en S.

Tabla Cayley para un semigrupo nulo

Sea S = {0, a, b, c} el conjunto generador de un semigrupo nulo. Entonces la tabla de Cayley de S es:

Tabla Cayley para un semigrupo nulo

	0	a	b	c
0	0	0	0	0
a	0	0	0	0
b	0	0	0	0
c	0	0	0	0

Semigrupo nulo izquierdo

Un semigrupo en el que cada elemento es un cero izquierdo (es decir, un elemento absorbente por la izquierda) se llama semigrupo nulo izquierdo . Por tanto, un semigrupo S es un semigrupo nulo izquierdo si xy = x para todo x e y en S.

Tabla Cayley para un semigrupo nulo izquierdo

Sea S = {a, b, c} un semigrupo nulo izquierdo. Entonces la tabla de Cayley para S es la siguiente:

Tabla Cayley para un semigrupo nulo izquierdo

	a	b	c
a	a	a	a
b	b	b	b
c	c	c	c

Semigrupo nulo derecho

Un semigrupo en el que cada elemento es un cero derecho (es decir, un elemento absorbente por la derecha) se llama semigrupo nulo derecho. Por tanto, un semigrupo S es un semigrupo nulo derecho si xy = y para todo x e y en S.

Tabla Cayley para un semigrupo cero derecho

Sea S = {a, b, c} un semigrupo nulo derecho. Entonces la tabla de Cayley para S es la siguiente:

Tabla Cayley para un semigrupo nulo derecho

	a	b	c
a	a	b	c
b	a	b	c
c	a	b	c

Propiedades

Los semigrupos nulos (izquierdos o derechos) no triviales no pueden contener elemento neutro. De esto se deduce que el único monoide nulo es el trivial.

La clase de semigrupos nulos es:

• cerrada bajo la acción de tomar subsemigrupos.
• cerrada bajo la acción de tomar cociente del subsemigrupo.
• cerrada bajo productos directos arbitrarios.

De esto deducimos que la clase de semigrupos nulos (tanto izquierdos y derechos) es una variedad de álgebra universal y por tanto una variedad de semigrupos finitos. La variedad de semigrupos nulos finitos está definida por la identidad ab = cd.

Véase también

• grupo derecho

Referencias

1. A H Clifford; G B Preston (1964). The algebraic theory of semigroups Vol I. mathematical Surveys 1 (2 edición). American Mathematical Society. pp. 3-4. ISBN 978-0-8218-0272-4. 
2. M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 19

• Datos: Q7068969