Recta de Filón

Recta de Filón de un punto P y de un ángulo DOE, y la igualdad definitoria de distancias desde P y Q hasta los extremos de DE, donde Q es la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo

En geometría, la recta de Filón se construye a partir de un ángulo y de un punto situado en su interior, y se define como el segmento más corto que pasa por el punto y que tiene sus extremos en los dos lados del ángulo. Lleva el nombre de Filón de Bizancio, un tratadista griego que escribió sobre dispositivos mecánicos, y que vivió probablemente durante el siglo I o II a. C. Usó la recta que lleva su nombre para calcular la duplicación del cubo.[1]​[2]​ Es sabido que no se puede duplicar el cubo exclusivamente con regla y compás, ni tampoco construir la recta de Filón.[1]​[3]​

Caracterización geométrica

El punto de definición de una recta de Filón, y la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo a la recta, son equidistantes a los puntos finales del segmento abarcado por el ángulo. Es decir, supóngase que el segmento ${\displaystyle DE}$ es parte de la recta de Filón del punto ${\displaystyle P}$ y el ángulo ${\displaystyle DOE}$; y sea ${\displaystyle Q}$ la base de una perpendicular ${\displaystyle OQ}$ a ${\displaystyle DE}$. Entonces, ${\displaystyle DP=EQ}$ y ${\displaystyle DQ=EP}$.[1]​

Por el contrario, si ${\displaystyle P}$ y ${\displaystyle Q}$ son dos puntos cualesquiera equidistantes de los extremos de un segmento rectilíneo ${\displaystyle DE}$, y si ${\displaystyle O}$ es cualquier punto de la recta que pasa por ${\displaystyle Q}$ que es perpendicular a ${\displaystyle DE}$, entonces ${\displaystyle DE}$ es la recta de Filón del ángulo ${\displaystyle DOE}$ y el punto ${\displaystyle P}$.[1]​

Duplicación del cubo

La recta de Filón se puede usar para duplicar un cubo, es decir, para construir una representación geométrica de la raíz cúbica de dos, y este fue el propósito de Filón al definirla. Específicamente, sea ${\displaystyle PQRS}$ un rectángulo cuya relación de aspecto ${\displaystyle PQ:QR}$ es ${\displaystyle 1:2}$, como en la figura. Sea ${\displaystyle TU}$ la recta de Filón del punto ${\displaystyle P}$ con respecto al ángulo recto ${\displaystyle QRS}$. Por otro lado, se denomina ${\displaystyle V}$ al punto de intersección de la línea ${\displaystyle TU}$ y de la circunferencia que pasa por los puntos ${\displaystyle PQRS}$. Debido a que el triángulo ${\displaystyle RVP}$ está inscrito en la circunferencia con ${\displaystyle RP}$ como diámetro, es un triángulo rectángulo y ${\displaystyle V}$ es la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo hasta la recta de Filón.

Sea ${\displaystyle W}$ el punto donde la línea recta ${\displaystyle QR}$ cruza una línea perpendicular a través de ${\displaystyle V}$. Entonces, las igualdades de los segmentos ${\displaystyle RS=PQ}$, ${\displaystyle RW=QU}$ y ${\displaystyle WU=RQ}$ se derivan de la propiedad característica de la recta de Filón. La semejanza de los triángulos rectángulos ${\displaystyle PQU}$, ${\displaystyle RWV}$ y ${\displaystyle VWU}$ se deduce a partir de la bisección perpendicular de los triángulos rectángulos. La combinación de estas igualdades y relaciones de semejanza permite obtener la igualdad de proporciones ${\displaystyle RS:RW=PQ:QU=RW:WV=WV:WU=WV:RQ}$ o más concisamente ${\displaystyle RS:RW=RW:WV=WV:RQ}$. Dado que el primer y último término de estas tres proporciones iguales están en la razón ${\displaystyle 1:2}$, las proporciones en sí deben ser todas ${\displaystyle 1:{\sqrt[{3}]{2}}}$, la proporción que se requiere para duplicar el cubo.[4]​

Sabiendo que es imposible duplicar el cubo solo con regla y compás, es igualmente imposible construir la recta de Filón con estas herramientas.[1]​[3]​

Referencias

1. Eves, Howard (1965). A Survey of Geometry 2. Boston: Allyn and Bacon. pp. 39, 234-236. 
2. Wells, David (1991). «Philo's line». The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. Penguin Books. pp. 182–183. 
3. Kimberling, Clark (2003). Geometry in Action: A Discovery Approach Using The Geometer's Sketchpad. Emeryville, California: Key College Publishing. pp. 115-116. ISBN 1-931914-02-8. 
4. Coxeter, H. S. M.; van de Craats, Jan (1993). «Philon lines in non-Euclidean planes». Journal of Geometry 48 (1–2): 26-55. MR 1242701. doi:10.1007/BF01226799. 

Lecturas relacionadas

• Neovius, Eduard (1888). «Ueber eine specielle geometrische Aufgabe des Minimums». Mathematische Annalen 31 (3): 359-362. doi:10.1007/BF01206220. 
• Neuberg, J. (1907). «Sur un minimum». Mathesis: 68-69. 
• Wetterling, W. W. E. (1996). «Philon's line generalized: an optimization problem from geometry». Journal of Optimization Theory and Applications 90 (3): 517-521. MR 1402620. doi:10.1007/BF02189793. 

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. «Philo Line». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research. 

• Datos: Q3039873