Politopo cíclico

En matemáticas, un politopo cíclico, denotado como C(n,d), es un tipo de politopo convexo formado como la envolvente convexa de n puntos distintos de una curva normal racional en R^d, donde n es mayor que d. Estos politopos fueron estudiados por Constantin Carathéodory, David Gale, Theodore Motzkin, Victor Klee y otros. Desempeñan un papel importante en la combinatoria poliédrica: según el teorema del límite superior, demostrado por Peter McMullen y Richard Stanley, el límite Δ(n,d) del politopo cíclico C (n,d) maximiza el número f_i de caras de dimensión i entre todos las esferas simpliciales de dimensión d − 1 con n vértices.

Definición

La curva de momentos en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ está definida por

${\displaystyle \mathbf {x} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{d},\mathbf {x} (t):={\begin{bmatrix}t,t^{2},\ldots ,t^{d}\end{bmatrix}}^{T}}$.[1]​

El politopo cíclico de dimensión ${\displaystyle d}$ con ${\displaystyle n}$ vértices es la envolvente convexa

${\displaystyle C(n,d):=\mathbf {conv} \{\mathbf {x} (t_{1}),\mathbf {x} (t_{2}),\ldots ,\mathbf {x} (t_{n})\}}$

de ${\displaystyle n>d\geq 2}$ distintos puntos ${\displaystyle \mathbf {x} (t_{i})}$ con ${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$ en la curva de momentos.[1]​

La estructura combinatoria de este politopo es independiente de los puntos elegidos, y el politopo resultante tiene dimensión d y n vértices.[1]​ Su límite es un politopo simplicial (d − 1)-dimensional denotado Δ(n,d).

Condición de uniformidad de Gale

La condición de uniformidad de Gale[2]​ proporciona una condición necesaria y suficiente para determinar una cara en un politopo cíclico.

Sea ${\displaystyle T:=\{t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}\}}$. Entonces, si y solo si un subconjunto ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle T_{d}\subseteq T}$ forma una faceta de ${\displaystyle C(n,d)}$. Dos elementos cualquiera en ${\displaystyle T\setminus T_{d}}$ están separados por un número par de elementos de ${\displaystyle T_{d}}$ en la secuencia ${\displaystyle (t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})}$.

Politopos vecinos

Los politopos cíclicos son ejemplos de politopos vecinos, ya que cada conjunto de como máximo d/2 vértices forma una cara. Fueron los primeros politopos vecinos conocidos, y Theodore Motzkin conjeturó que todos los politopos vecinos son combinatoriamente equivalentes a los politopos cíclicos, pero ahora se sabe que esto es falso.[3]​[4]​

Número de caras

El número de caras de dimensión i del politopo cíclico Δ(n,d) viene dado por la fórmula

${\displaystyle f_{i}(\Delta (n,d))={\binom {n}{i+1}}\quad {\textrm {for}}\quad 0\leq i<\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor }$

y ${\displaystyle (f_{0},\ldots ,f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor -1})}$ determinan completamente ${\displaystyle (f_{\left\lfloor {\frac {d}{2}}\right\rfloor },\ldots ,f_{d-1})}$ a través de las ecuaciones de Dehn-Sommerville.

Teorema del límite superior

El teorema del límite superior establece que los politopos cíclicos tienen el máximo número posible de caras para una determinada dimensión y número de vértices: si Δ es una esfera simplicial de dimensión d − 1 con n vértices, entonces

${\displaystyle f_{i}(\Delta )\leq f_{i}(\Delta (n,d))\quad {\textrm {for}}\quad i=0,1,\ldots ,d-1.}$

La conjetura del límite superior para los politopos simpliciales fue propuesta por Theodore Motzkin en 1957 y probada por Peter McMullen en 1970. Victor Klee sugirió que la misma declaración debería ser válida para todas las esferas simpliciales y esto fue establecido en 1975 por Richard P. Stanley[5]​ utilizando la noción del anillo de Stanley-Reisner y métodos homológicos.

Véase también

• Álgebra conmutativa combinatoria

Referencias

1. Miller, Ezra; Sturmfels, Bernd (2005). Combinatorial commutative algebra. Graduate Texts in Mathematics 227. New York, NY: Springer Science+Business Media. p. 119. ISBN 0-387-23707-0. Zbl 1090.13001. 
2. Ziegler, Günter (1994). Lectures on Polytopes. Springer. pp. 14. ISBN 0-387-94365-X. 
3. Gale, David (1963), «Neighborly and cyclic polytopes», en Klee, Victor, ed., Convexity, Seattle, 1961, Symposia in Pure Mathematics 7, American Mathematical Society, pp. 225-233, ISBN 978-0-8218-1407-9 ..
4. Shermer, Ido (1982). «Neighborly polytopes». Israel Journal of Mathematics 43 (4): 291-311. doi:10.1007/BF02761235. .
5. Stanley, Richard (1996). Combinatorics and commutative algebra. Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc. pp. 164. ISBN 0-8176-3836-9. 

• Datos: Q245469