El número armónico
H
n
,
1
{\displaystyle H_{n,1}}
n
=
⌊
x
⌋
{\displaystyle n=\lfloor {x}\rfloor }
γ
+
log
x
{\displaystyle \gamma +\log x}
En matemáticas , se define el n -ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales :
H
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
=
1
+
1
2
+
1
3
+
⋯
+
1
n
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}
n veces el inverso de la media armónica .
Los números armónicos han sido estudiados desde la antigüedad y son importantes en muchas ramas de la teoría de números . A veces se denomina vagamente serie armónica . Están íntimamente relacionados con
la función zeta de Riemann , y aparecen en diversas expresiones de funciones especiales .
La primera representación, en forma integral, fue dada por Leonhard Euler :
H
n
=
∫
0
1
1
−
x
n
1
−
x
d
x
.
{\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}
En esta representación es fácil mostrar que se satisface una relación recursiva mediante la fórmula
∫
0
1
x
n
d
x
=
1
n
+
1
,
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}\,dx={\frac {1}{n+1}},}
y luego
x
n
+
1
−
x
n
1
−
x
=
1
−
x
n
+
1
1
−
x
{\displaystyle x^{n}+{\frac {1-x^{n}}{1-x}}={\frac {1-x^{n+1}}{1-x}}}
dentro de la integral.
Para los números naturales , H n
H
n
=
∑
k
=
0
n
−
1
∫
0
1
x
k
d
x
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}\int _{0}^{1}x^{k}\,dx}
H n logaritmo natural de n . La razón es que la suma está aproximada por la integral
∫
1
n
1
x
d
x
{\displaystyle \int _{1}^{n}{1 \over x}\,dx}
cuyo valor es log(n ). Concretamente, tenemos el siguiente límite :
lim
n
→
∞
H
n
−
log
(
n
)
=
γ
{\displaystyle \lim _{n\to \infty }H_{n}-\log(n)=\gamma }
(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni 0.5772156649...).
Y también, como la correspondiente expansión asintótica :
H
n
=
γ
+
log
n
+
1
2
n
−
1
−
1
12
n
−
2
+
1
120
n
−
4
+
O
(
n
−
6
)
{\displaystyle H_{n}=\gamma +\log {n}+{\frac {1}{2}}n^{-1}-{\frac {1}{12}}n^{-2}+{\frac {1}{120}}n^{-4}+{\mathcal {O}}(n^{-6})}
Funciones generatrices
Una función generatriz que indexa los números armónicos es
∑
n
=
1
∞
z
n
H
n
=
−
log
(
1
−
z
)
1
−
z
,
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\log(1-z)}{1-z}},}
donde
log
(
z
)
{\displaystyle \log(z)}
logaritmo natural . Otra función generadora exponencial que indexa a los números armónicos es:
∑
n
=
1
∞
z
n
n
!
H
n
=
−
e
z
∑
k
=
1
∞
1
k
(
−
z
)
k
k
!
=
e
z
Ein
(
z
)
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}{\mbox{Ein}}(z)}
donde
Ein
(
z
)
{\displaystyle {\mbox{Ein}}(z)}
integral exponencial entera . Nótese que
Ein
(
z
)
=
E
1
(
z
)
+
γ
+
log
z
=
Γ
(
0
,
z
)
+
γ
+
log
z
{\displaystyle {\mbox{Ein}}(z)={\mbox{E}}_{1}(z)+\gamma +\log z=\Gamma (0,z)+\gamma +\log z\,}
donde
Γ
(
0
,
z
)
{\displaystyle \Gamma (0,z)}
función gamma incompleta .
Aplicaciones
Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de expresiones del cálculo, como por ejemplo, esta expresión de la función digamma :
ψ
(
n
)
=
H
n
−
1
−
γ
.
{\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .\,}
Esta relación es también utilizada frecuentemente para definir la extensión de los números armónicos a números no enteros n . Los números armónicos también son utilizados
frecuentemente para definir γ, usando el límite antes definido en la anterior sección, aunque
γ
=
lim
n
→
∞
(
H
n
−
log
(
n
+
1
2
)
)
{\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\log \left(n+{1 \over 2}\right)\right)}}
este converge más rápidamente.
Jeffrey Lagarias probó que la hipótesis de Riemann es equivalente a decir que:
σ
(
n
)
≤
H
n
+
e
H
n
log
(
H
n
)
,
{\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log(H_{n}),}
es cierto para cualquier número entero n ≥ 1 con la desigualdad estricta si n > 1; Aquí σ(n ) denota la suma de los divisores de n .
Generalizaciones
Los Números armónicos generalizados de orden n de m están dados por la expresión:
H
n
,
m
=
∑
k
=
1
n
1
k
m
{\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}}
Nótese que el límite cuando n tiende a infinito existe si m > 1.
Otras notaciones ocasinalmente utilizadas, son:
H
n
,
m
=
H
n
(
m
)
=
H
m
(
n
)
{\displaystyle H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n)}
El caso especial de m = 1 es simplemente el n -ésimo número armónico y suele escribirse sin el índice superior.
H
n
=
∑
k
=
1
n
1
k
{\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}
En el límite, cuando
n
→
∞
{\displaystyle n\rightarrow \infty }
función zeta de Riemann .
lim
n
→
∞
H
n
,
m
=
ζ
(
m
)
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m)}
Al igual que en la suma
∑
k
=
1
n
k
m
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}
números de Bernoulli , en los números armónicos generalizados aparecen los números de Stirling .
Una función generatriz para los números armónicos generalizados es:
∑
n
=
1
∞
z
n
H
n
,
m
=
Li
m
(
z
)
1
−
z
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {{\mbox{Li}}_{m}(z)}{1-z}}}
donde
Li
m
(
z
)
{\displaystyle {\mbox{Li}}_{m}(z)}
polilogaritmo , y
|
z
|
<
1
{\displaystyle |z|<1}
m = 1.
De la fórmula integral de Euler para los números armónicos se obtiene la siguiente identidad:
∫
a
1
1
−
x
s
1
−
x
d
x
=
−
∑
k
=
1
∞
1
k
(
s
k
)
(
a
−
1
)
k
{\displaystyle \int _{a}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{s \choose k}(a-1)^{k}}
la cual se cumple para un número complejo s general, utilizando una extensión adecuada de los coeficientes binomiales . Escogiendo a = 0, esta fórmula da ambas representaciones (integral y en forma de serie)
para una función que genera los números armónicos y extiende la definición al plano complejo. Esta relación integral se obtiene fácilmente por manipulación del binomio de Newton :
∑
k
=
0
∞
(
s
k
)
(
−
x
)
k
=
(
1
−
x
)
s
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{s \choose k}(-x)^{k}=(1-x)^{s}}
concretamente, del binomio generalizado de Newton. La función interpolada es justamente la función digamma , así:
ψ
(
s
+
1
)
+
γ
=
∫
0
1
1
−
x
s
1
−
x
d
x
{\displaystyle \psi (s+1)+\gamma =\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{s}}{1-x}}dx}
donde ψ(x ) es la función digamma, y γ es la constante de Euler-Mascheroni . El proceso de integración se puede repetir para obtener
H
s
,
2
=
−
∑
k
=
1
∞
(
−
1
)
k
k
(
s
k
)
H
k
{\displaystyle H_{s,2}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{s \choose k}H_{k}}
Referencias
Euler, Leonhard, De progressionibus harmonicis observationes. Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 7, 1740, pp. 150-161. Reprinted in Opera Omnia: Series 1, Volume 14, pp. 87 - 100
Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, A Stirling Encounter with Harmonic Numbers 75 (2) pp 95-103.
Donald Knuth . The Art of Computer Programming , Volume 1: Fundamental Algorithms , Third Edition. Addison-Wesley , 1997. ISBN 0-201-89683-4 . Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp.75–79.Peter Paule and Carsten Schneider, Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities
Wenchang CHU, A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers The Electronic Journal of Combinatorics , 11 , #N15.
Enlaces externos
