N-elipse

Ejemplos de n-elipses con 3 focos dados. La progresión de las distancias no es lineal.

En geometría, la n-elipse es una generalización de la elipse que permite más de dos focos.[1]​ Las n-elipses se conocen por otros muchos nombres, como elipse multifocal,[2]​ polielipse,[3]​ ovoelipse,[4]​ k-elipse,[5]​ y óvalo de Tschirnhaus (en referencia a Ehrenfried Walther von Tschirnhaus). Fueron investigadas en primer lugar por James Clerk Maxwell en 1846.[6]​

Dados n puntos (u_i, v_i) (llamados focos) en un plano, una n-elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del plano cuya suma de las distancias a los n focos es una constante d. En fórmulas, este conjunto tiene la forma

${\displaystyle \left\{(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}:\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {(x-u_{i})^{2}+(y-v_{i})^{2}}}=d\right\}.}$

La 1-elipse es la circunferencia. La 2-elipse es la elipse clásica. Ambas son curvas algebraicas de grado 2.

Para cualquier número n de focos, la n-elipse es una curva cerrada y convexa.[2]​: (p. 90)  La curva es suave a menos que atraviese un foco.[5]​: p.7 

La n-elipse es en general un subconjunto de puntos que satisfacen una ecuación algebraica[5]​: Figs. 2 y 4, p. 7  particular. Si n es impar, el grado algebraico de la curva es ${\displaystyle 2^{n}}$, mientras que si n es par el grado es ${\displaystyle 2^{n}-{\binom {n}{n/2}}}$.[5]​: (Thm. 1.1) 

Véase también

• Cónica generalizada

Referencias

1. J. Sekino (1999): "n-Ellipses and the Minimum Distance Sum Problem", American Mathematical Monthly 106 #3 (March 1999), 193–202. MR 1682340; Zbl 986.51040.
2. Erdős, Paul; Vincze, István (1982). «On the Approximation of Convex, Closed Plane Curves by Multifocal Ellipses». Journal of Applied Probability 19: 89-96. JSTOR 3213552. Archivado desde el original el 28 de septiembre de 2016. Consultado el 22 de febrero de 2015. 
3. Z.A. Melzak and J.S. Forsyth (1977): "Polyconics 1. polyellipses and optimization", Q. of Appl. Math., pages 239–255, 1977.
4. P.V. Sahadevan (1987): "The theory of egglipse—a new curve with three focal points", International Journal of Mathematical Education in Science and Technology 18 (1987), 29–39. MR 872599; Zbl 613.51030.
5. J. Nie, P.A. Parrilo, B. Sturmfels: "J. Nie, P. Parrilo, B.St.: "Semidefinite representation of the k-ellipse", in Algorithms in Algebraic Geometry, I.M.A. Volumes in Mathematics and its Applications, 146, Springer, New York, 2008, pp. 117-132
6. James Clerk Maxwell (1846): "Paper on the Description of Oval Curves, Feb 1846, from The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell: 1846-1862

Lecturas adicionales

• P.L. Rosin: "On the Construction of Ovals"
• B. Sturmfels: "The Geometry of Semidefinite Programming", pp. 9–16.

• Datos: Q17099260