Número no totiente

En teoría de números, un número no totiente[1]​ es un entero positivo n que no tiene soluciones para la función φ de Euler: no está en el rango de φ, y por lo tanto la ecuación φ(x) = n no tiene solución para ningún x. En otras palabras, n no es totiente si no hay un entero x que tenga exactamente n números coprimos precedentes. Todos los números impares son no totientes, excepto 1, que tiene las soluciones x = 1 y x = 2. Los primeros pares no totientes son

14, 26, 34, 38, 50, 62, 68, 74, 76, 86, 90, 94, 98, 114, 118, 122, 124, 134, 142, 146, 152, 154, 158, 170, 174, 182, 186, 188, 194, 202, 206, 214, 218, 230, 234, 236, 242, 244, 246, 248, 254, 258, 266, 274, 278, 284, 286, 290, 298, ... (sucesión A005277 en OEIS)

Menores k tales que el totiente de k es n son (0 si no existe tal k)

1, 3, 0, 5, 0, 7, 0, 15, 0, 11, 0, 13, 0, 0, 0, 17, 0, 19, 0, 25, 0, 23, 0, 35, 0 , 0, 0, 29, 0, 31, 0, 51, 0, 0, 0, 37, 0, 0, 0, 41, 0, 43, 0, 69, 0, 47, 0, 65, 0, 0 , 0, 53, 0, 81, 0, 87, 0, 59, 0, 61, 0, 0, 0, 85, 0, 67, 0, 0, 0, 71, 0, 73, ... (sucesión A049283 en OEIS)

Mayores k tales que el totiente de k es n son (0 si no existe tal k)

2, 6, 0, 12, 0, 18, 0, 30, 0, 22, 0, 42, 0, 0, 0, 60, 0, 54, 0, 66, 0, 46, 0, 90, 0 , 0, 0, 58, 0, 62, 0, 120, 0, 0, 0, 126, 0, 0, 0, 150, 0, 98, 0, 138, 0, 94, 0, 210, 0, 0 , 0, 106, 0, 162, 0, 174, 0, 118, 0, 198, 0, 0, 0, 240, 0, 134, 0, 0, 0, 142, 0, 270, ... (sucesión A057635 en OEIS)

El número de k tales que φ(k) = n son (comienza con n = 0)

0, 2, 3, 0, 4, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 6, 0, 0, 0, 6, 0, 4, 0, 5, 0, 2, 0, 10 , 0, 0, 0, 2, 0, 2, 0, 7, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 0, 9, 0, 4, 0, 3, 0, 2, 0, 11, 0 , 0, 0, 2, 0, 2, 0, 3, 0, 2, 0, 9, 0, 0, 0, 8, 0, 2, 0, 0, 0, 2, 0, 17, ... (sucesión A014197 en OEIS)

Según la conjetura de Carmichael no hay 1 en esta secuencia.

Un no totiente par es un número primo más uno, pero nunca menos uno, ya que todos los números por debajo de un número primo son, por definición, coprimos con él. Para expresarlo algebraicamente, para p primo: φ(p) = p + 1. Además, un número oblongo n(n - 1) ciertamente no es no totiente si n es primo, ya que φ(p2) = p(p - 1).

Si un número natural n es totiente, se puede demostrar que n · 2k es un totiente para todo número natural k.

Hay un número infinito de números pares que no son totientes: de hecho, hay infinitos números primos p distintos (como 78557 y 271129, véase número de Sierpiński) tales que todos los números de la forma 2ap son no totientes, y todos los números impares tienen un múltiplo par que es un no totiente.

n Números k tales que φ(k)= n n Números k tales que φ(k)= n n Números k tales que φ(k)= n n Números k tales que φ(k)= n
1 1, 2 37 73 109
2 3, 4, 6 38 74 110 121, 242
3 39 75 111
4 5, 8, 10, 12 40 41, 55, 75, 82, 88, 100, 110, 132, 150 76 112 113, 145, 226, 232, 290, 348
5 41 77 113
6 7, 9, 14, 18 42 43, 49, 86, 98 78 79, 158 114
7 43 79 115
8 15, 16, 20, 24, 30 44 69, 92, 138 80 123, 164, 165, 176, 200, 220, 246, 264, 300, 330 116 177, 236, 354
9 45 81 117
10 11, 22 46 47, 94 82 83, 166 118
11 47 83 119
12 13, 21, 26, 28, 36, 42 48 65, 104, 105, 112, 130, 140, 144, 156, 168, 180, 210 84 129, 147, 172, 196, 258, 294 120 143, 155, 175, 183, 225, 231, 244, 248, 286, 308, 310, 350, 366, 372, 396, 450, 462
13 49 85 121
14 50 86 122
15 51 87 123
16 17, 32, 34, 40, 48, 60 52 53, 106 88 89, 115, 178, 184, 230, 276 124
17 53 89 125
18 19, 27, 38, 54 54 81, 162 90 126 127, 254
19 55 91 127
20 25, 33, 44, 50, 66 56 87, 116, 174 92 141, 188, 282 128 255, 256, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510
21 57 93 129
22 23, 46 58 59, 118 94 130 131, 262
23 59 95 131
24 35, 39, 45, 52, 56, 70, 72, 78, 84, 90 60 61, 77, 93, 99, 122, 124, 154, 186, 198 96 97, 119, 153, 194, 195, 208, 224, 238, 260, 280, 288, 306, 312, 336, 360, 390, 420 132 161, 201, 207, 268, 322, 402, 414
25 61 97 133
26 62 98 134
27 63 99 135
28 29, 58 64 85, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240 100 101, 125, 202, 250 136 137, 274
29 65 101 137
30 31, 62 66 67, 134 102 103, 206 138 139, 278
31 67 103 139
32 51, 64, 68, 80, 96, 102, 120 68 104 159, 212, 318 140 213, 284, 426
33 69 105 141
34 70 71, 142 106 107, 214 142
35 71 107 143
36 37, 57, 63, 74, 76, 108, 114, 126 72 73, 91, 95, 111, 117, 135, 146, 148, 152, 182, 190, 216, 222, 228, 234, 252, 270 108 109, 133, 171, 189, 218, 266, 324, 342, 378 144 185, 219, 273, 285, 292, 296, 304, 315, 364, 370, 380, 432, 438, 444, 456, 468, 504, 540, 546, 570, 630

Referencias

  1. ↑ Manfred Schroeder (2013). Number Theory in Science and Communication: With Applications in Cryptography, Physics, Digital Information, Computing, and Self-Similarity. Springer Science & Business Media. pp. 123 de 364. ISBN 9783662034309. Consultado el 26 de septiembre de 2022. 

Bibliografía